Question

【题目】如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点，点与点关于轴对称，点的坐标为，过点作轴的垂线交抛物线于点．

（1）求点、点、点的坐标；

（2）当点在线段上运动时，直线交于点，试探究当为何值时，四边形是平行四边形；

（3）在点的运动过程中，是否存在点，使是以为直角边的直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）

（2）当，四边形是平行四边形

（3）存在，点的坐标为， ，

【解析】

（1）根据函数解析式列方程即可；

（2）根据平行四边形的判定，用含未知数的值表示QM的长度，从而可求解;

（3）设Q点的坐标为,分两种情况讨论：当时，由勾股定理可得：，当时，由勾股定理可得：，可解出的值.

（1）令，则，C点的坐标为（0,2）；

令，则 解得，点A为（-1,0）；点B为（4,0）

∴

（2）如图1所示：

点C与点D关于轴对称，点,设直线BD的解析式为，将代入得： 解得

∴直线BD的解析式为：

∵

∴当时，四边形是平行四边形

设Q点的坐标为 ，则

∴

解得 （不合题意，舍去）

∴当，四边形是平行四边形

（3）存在，设Q点的坐标为

∵是以BD为直角边的直角三角形

∴当时，由勾股定理可得：

即

解得 （不合题意，舍去）

∴Q点的坐标为

当时，由勾股定理可得：

即

解得

Q点的坐标为

综上所述：点的坐标为， ，.