Question

【题目】如果方程x2+px+q=0的两个根是x1 ， x2 ， 那么x1+x2=﹣p，x1x2=q，请根据以上结论，解决下列问题：
（1）已知关于x的方程x2+mx+n=0，（n≠0），求出一个一元二次方程，使它的两个根分别是已知方程两根的倒数；
（2）已知a、b满足a2﹣15a﹣5=0，b2﹣15b﹣5=0，求 的值；
（3）已知a、b、c满足a+b+c=0，abc=16，求正数c的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：设方程x2+mx+n=0，（n≠0）的两个根分别是x1，x2，

则： + = =﹣ ，

= = ，

若一个一元二次方程的两个根分别是已知方程两根的倒数，

则这个一元二次方程是：x2+ x+ =0

（2）解：∵a、b满足a2﹣15a﹣5=0，b2﹣15b﹣5=0，

∴a，b是x2﹣15x﹣5=0的解，

当a≠b时，a+b=15，ab=﹣5，

= = = =﹣47．

当a=b时，原式=2

（3）解：∵a+b+c=0，abc=16，

∴a+b=﹣c，ab= ，

∴a、b是方程x2+cx+ =0的解，

∴c2﹣4 ≥0，

c2﹣ ≥0，

∵c是正数，

∴c3﹣43≥0，

c3≥43，

c≥4，

∴正数c的最小值是4

【解析】（1）先设方程x2+mx+n=0，（n≠0）的两个根分别是x1 ， x2 ， 得出 + =﹣ ， = ，再根据这个一元二次方程的两个根分别是已知方程两根的倒数，即可求出答案．（2）根据a、b满足a2﹣15a﹣5=0，b2﹣15b﹣5=0，得出a，b是x2﹣15x﹣5=0的解，求出a+b和ab的值，即可求出 的值．（3）根据a+b+c=0，abc=16，得出a+b=﹣c，ab= ，a、b是方程x2+cx+ =0的解，再根据c2﹣4 ≥0，即可求出c的最小值．
【考点精析】解答此题的关键在于理解求根公式的相关知识，掌握根的判别式△=b2-4ac，这里可以分为3种情况：1、当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根2、当△=0时，一元二次方程有2个相同的实数根3、当△<0时，一元二次方程没有实数根，以及对根与系数的关系的理解，了解一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根由方程的系数a、b、c而定；两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商．