Question

【题目】如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F．

（1）求证：△CEF是等腰三角形；

（2）若CD=2，求DF的长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）4；

【解析】

（1）证明△DCE中的三个角均为60°，然后再求得∠F=30°，从而可得到∠CEF=30°，故此可得到△CEF为等腰三角形；
（2）先求得CF=DE，然后由EC=DC进行求解即可．

（1）∵△ABC是等边三角形，

∴∠A=∠B=∠ACB=60°．

∵DE∥AB，

∴∠B=EDC=60°，∠A=∠CED=60°，

∴∠EDC=∠ECD=∠DEC=60°，

∵EF⊥ED，

∴∠DEF=90°，

∴∠F=30°

∵∠F+∠FEC=∠ECD=60°，

∴∠F=∠FEC=30°，

∴CE=CF．

∴△CEF为等腰三角形．

（2）由（1）可知∠EDC=∠ECD=∠DEC=60°，

∴CE=DC=2．

又∵CE=CF，

∴CF=2．

∴DF=DC+CF=2+2=4．