Question

【题目】已知：平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O．

（1）如图①，EF过点O且与AB，CD分别相交于点E、F，AC=6，△AEO的周长为10，求CF+OF的值．

（2）如图②，将平行四边形ABCD（纸片）沿过对角线交点O的直线EF折叠，点A落在A1处，点B落在点B1处，设FB1交CD于点G，A1B1分别交CD、DE于点H、P，请在折叠后的图形中找一条线段，使它与EP相等，并加以证明．

（3）如图③，△ABO是等边三角形，AB=1，点E在BC边上，且BE=1，则2EC-2EO= 直接填结果．

Answer 1

【答案】（1）7；（2）FG=EP．理由见解析；（3）．

【解析】

（1）只要证明△AOE≌△COF即可解决问题；

（2）结论：FG=EP．只要证明△A1PE≌△CGF即可；

（3）作OH⊥BC，解直角三角形求出EC、OE，即可解决问题.

（1）如图①中，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴OA=OC，AB∥CD，

∴∠EAO=∠FCO，

∵∠AOE=∠COF，

∴△AOE≌△COF，

∴OE=OF，AE=CF，

∴CF+OF=AE+OE=△AOE的周长-OA=7．

（2）结论：FG=EP．

理由：如图②中，连AC，

由（1）可知：△AOE≌△COF，

∴AE=CF，

由折叠可知，AE=A1E=CF，∠A1=∠A=∠BCD，

∵∠A1PE=∠DPH，∠D=∠B1，∠PHD=∠B1HG，

∴∠DPH=∠B1GH，

∵∠B1GH=∠CGF，

∴∠A1PE=∠CGF，

∴△A1PE≌△CGF，

∴FG=EP．

（3）如图③中，作OH⊥BC于H．

∵△AOB是等边三角形，

∴∠ABO=∠AOB=∠BAO=60°，

∵∠ABC=90°，

∴∠OBC=30°，

∵AB=OB=BE=1，

∴BC=，EC=-1，

∵OB=OC，OH⊥BC，

∴BH=CH=，

∴HE=1-，OH=OH=，

∴，

∴2EC-2EO=．

故答案为．