Question

【题目】（1）操作发现：如图1，在矩形ABCD中，E是BC的中点，将△ABE沿AE折叠后得到△AFE，点F在矩形ABCD内部，延长AF交CD于点G．猜想线段GF与GC有何数量关系？并证明你的结论．

（2）简单应用：在（1）中，如果AB＝4，AD＝6，求DG的长；

（3）类比探究：如图2，将（1）中的矩形ABCD改为平行四边形，其它条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）GF＝GC，证明见解析；（2）；（3）（1）中的结论仍然成立，理由见解析.

【解析】

（1）连接GE，根据点E是BC的中点以及翻折的性质可以求出BE=EF=EC，然后利用“HL”证明△GFE和△GCE全等，根据全等三角形对应边相等即可得证；

（2）设GC＝x，则AG＝4+x，DG＝4﹣x，利用Rt△ADG中的勾股定理即可求得GC，进而解题.

（3）利用平行四边形的性质，首先得出∠C=180°-∠D，∠EFG=180°-∠AFE=180°-∠B=180°-∠D，进而得出∠ECG=∠EFG，再利用EF=EC，得出∠EFC=∠ECF，即可得出答案．

解：（1）GF＝GC．

理由如下：如图1，连接GE，

∵E是BC的中点，

∴BE＝EC，

∵△ABE沿AE折叠后得到△AFE，

∴BE＝EF，

∴EF＝EC，

∵在矩形ABCD中，

∴∠C＝∠B＝90°，

∴∠EFG＝90°，

∵在Rt△GFE和Rt△GCE中，

，

∴Rt△GFE≌Rt△GCE（HL），

∴GF＝GC；

（2）设GC＝x，则AG＝4+x，DG＝4﹣x，

在Rt△ADG中，62+（4﹣x）2＝（4+x）2，

解得x＝．

∴GC＝，DG＝4﹣＝；

（3）（1）中的结论仍然成立．

证明：如图2，连接FC，

∵E是BC的中点，

∴BE＝CE，

∵将△ABE沿AE折叠后得到△AFE，

∴BE＝EF，∠B＝∠AFE，

∴EF＝EC，

∴∠EFC＝∠ECF，

∵矩形ABCD为平行四边形，

∴∠B＝∠D，

∵∠ECD＝180°﹣∠D，∠EFG＝180°﹣∠AFE＝180°﹣∠B＝180°﹣∠D，

∴∠ECD＝∠EFG，

∴∠GFC＝∠GFE﹣∠EFC＝∠ECG﹣∠ECF＝∠GCF，

∴∠GFC＝∠GCF，

∴FG＝CG；

即（1）中的结论仍然成立．