Question

【题目】在直角坐标系中，已知点P是反比例函数（＞0）图象上一个动点，以P为圆心的圆始终与轴相切，设切点为A．

（1）如图1，⊙P运动到与轴相切，设切点为K，试判断四边形OKPA的形状，并说明理由．

（2）如图2，⊙P运动到与轴相交，设交点为B，C．当四边形ABCP是菱形时：

①求出点A，B，C的坐标．

②在过A，B，C三点的抛物线上是否存在点M，使△MBP的面积是菱形ABCP面积的．若存在，试求出所有满足条件的M点的坐标，若不存在，试说明理由．

Answer 1

【答案】(1)、正方形；(2)、①、A（0，），B（1，0）C（3，0）；②、（0，），（3，0），（4，），（7，8）．

【解析】

试题分析：(1)、根据圆与坐标轴相等得出∠PAO=∠OKP=90°，又因为∠AOK=90°则得出四边形OKPA是矩形，根据OA=OK得出正方形；(2)、①、连接PB，设点P的横坐标为x，则纵坐标为，根据四边形为菱形得出△PBC为正三角形，得出PB=PA=x，PG=，根据sin∠PBG的值得出x的值，从而得到PG、PA、BC的值，得出A、B、C三点的坐标；②、根据三点坐标求出二次函数的解析式，然后求出直线BP的解析式，列出方程求出点M的坐标.

试题解析：(1)、四边形OKPA是正方形．

∵⊙P分别与两坐标轴相切，∴PA⊥OA，PK⊥OK．∴∠PAO=∠OKP=90°． 又∵∠AOK=90°，

∴∠PAO=∠OKP=∠AOK=90°．∴四边形OKPA是矩形．又∵OA=OK，∴四边形OKPA是正方形．

(2)、①、连接PB，设点P的横坐标为x，则其纵坐标为．过点P作PG⊥BC于G．

∵四边形ABCP为菱形，∴BC=PA=PB=PC．∴△PBC为等边三角形．

在Rt△PBG中，∠PBG=60°，PB=PA=x，PG=．sin∠PBG=，即．

解之得：x=±2（负值舍去）．∴PG=，PA=BC=2．

易知四边形OGPA是矩形，PA=OG=2，BG=CG=1，∴OB=OG﹣BG=1，OC=OG+GC=3．

∴A（0，），B（1，0）C（3，0）．

设二次函数解析式为：y=ax2+bx+c．据题意得：

解之得：a=，b=－，c=．

∴二次函数关系式为：．

②、设直线BP的解析式为：y=ux+v，据题意得：

解之得：u=，v=-3．∴直线BP的解析式为：．

过点A作直线AM∥PB，则可得直线AM的解析式为：y=x+．

解方程组： 得：；．

过点C作直线CM∥PB，则可设直线CM的解析式为：y=x+t．

∴0=3+t．∴t=－3．∴直线CM的解析式为：y=x－3．

解方程组： 得：；．

综上可知，满足条件的M的坐标有四个，

分别为：（0，），（3，0），（4，），（7，8）．