Question

【题目】如图：在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，过点O的直线EF分别与AD、BC交于点E、F，EF⊥AC，连结AF、CE．

（1）求证：OE=OF；
（2）请判断四边形AECF是什么特殊四边形，请证明你的结论．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵四边形ABCD平行四边形，

∴AD∥BC，OA=CO，

∴∠DAO=∠BCO，

在△AEO和△CFO中 ，

∴△AEO≌△CFO（ASA），

∴OE=OF

（2）答：四边形AECF是菱形，

∵△AEO≌△CFO，

∴AE=CF，

∵AE∥FC，

∴四边形AECF平行四边形，

∵EF⊥AC，

∴四边形AECF是菱形

【解析】（1）首先根据平行四边形的性质可得AD∥BC，OA=CO，再证明△AEO≌△CFO可得OE=OF；（2）根据△AEO≌△CFO可得AE=CF，然后可得四边形AECF平行四边形，再由条件EF⊥AC可得四边形AECF是菱形．
【考点精析】利用平行四边形的性质和菱形的判定方法对题目进行判断即可得到答案，需要熟知平行四边形的对边相等且平行；平行四边形的对角相等，邻角互补；平行四边形的对角线互相平分；任意一个四边形，四边相等成菱形；四边形的对角线，垂直互分是菱形．已知平行四边形，邻边相等叫菱形；两对角线若垂直，顺理成章为菱形．