Question

【题目】如图（1），抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A（x1,0）、B（x2,0）两点（x1<0<x2），与y轴交于点C(0,-3),若抛物线的对称轴为直线x=1,且tan∠OAC=3.

（1）求抛物线的函数解析式；
（2）若点D是抛物线BC段上的动点，且点D到直线BC距离为 ，求点D的坐标
（3）如图（2），若直线y=mx+n经过点A,交y轴于点E(0, － ),点P是直线AE下方抛物线上一点，过点P作x轴的垂线交直线AE于点M,点N在线段AM延长线上，且PM=PN,是否存在点P，使△PMN的周长有最大值？若存在，求出点P的坐标及△PMN的周长的最大值；若不存在,请说明理由.

Answer 1

【答案】
（1）

在Rt△AOC中，tan OAC= =3，且OC=3，

∴OA=1，A（-1，0）

∵抛物线的对称轴为直线x=1

∴由中点坐标公式可求： ，解得x=3

∴B（3，0）

∴可设抛物线的表达式为：y=a（x-3）（x+1）

将C（0，-3）代入上式中，a×（-3）=-3，

解得：a=1

∴抛物线的表达式为：y=（x-3）（x+1）=x2-2x-3

（2）

∵B（3，0）、C（0，-3）

∴

∴

设D（x，x2-2x-3）.连接OD.

∴

=

=

=

=3

解得：x1=1，x2=2

∴D（1，-4）（2，-3）

（3）

由A（-1,0）、E（0，- ）可求：

直线AE的表达式为：y= ，AE=

设p（t，t2-2t-3），则M（t， t ）

∴PM= t -（t2-2t-3）=- t2+

作PG⊥MN于G，

由PM=PN得：MG=NG= MN

由△PMG∽△AEO有： ，即

∴MG= PM=NG

∴C△PMN=PM+PN+MN= PM= （- t2+ ）=- t2+ t+6

∴当t= 时，C△PMN有最大值为 ，此时P

【解析】（1）C点的坐标已知，tan∠OAC，据此求出A点坐标；对称轴是x=1，据此求出B点坐标。（2）B、C两点的坐标是已知，根据两点之间的距离公式求出BC的长度，点D到直线BC的距离为 ，根据 BCD的面积求出D点的坐标。（3）已知A、E两点的坐标，可以先求出直线AE的表达式。易知P、M的横坐标相同，分别设出P、M两点。用PM分别表示出PN，MN，根据二次函数的性质，求出 PMN周长的最大值及此时P点的坐标。
【考点精析】本题主要考查了二次函数的图象和二次函数的性质的相关知识点，需要掌握二次函数图像关键点：1、开口方向2、对称轴 3、顶点 4、与x轴交点 5、与y轴交点；增减性：当a>0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大；当a<0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小才能正确解答此题．