Question

【题目】如图，在⊙O中，AB为直径，D、E为圆上两点，C为圆外一点，且∠E+∠C=90°．

（1）求证：BC为⊙O的切线．
（2）若sinA= ，BC=6，求⊙O的半径．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵∠A与∠E所对的弧是 弧BD ，
∴∠A=∠E，
又∵∠E+∠C=90°，
∴∠A+∠C=90°，
∴∠ABC=180°﹣90°=90°，
∵AB为直径，
∴BC为⊙O的切线.
（2）解：∵sinA= ，BC=6，
∴ = ，
即 = ，
∴AC=10，
在Rt△ABC中，
∴AB= = =8，
又∵AB为直径，
∴⊙O的半径是 ×8=4.
【解析】（1）根据同弧所对的圆周角相等得∠A=∠E，同等量代换得∠A+∠C=90°，再由三角形内角和得∠ABC=90°，根据切线的判定即可得BC为⊙O的切线.
（2）由三角函数正弦定义得：sinA== ，从而得AC=10，在Rt△ABC中，根据勾股定理得AB=8，从而得⊙O的半径.