Question

【题目】如图，AD是△ABC的高线，在BC边上截取点E，使得CE＝BD，过E作EF∥AB，过C作CP⊥BC交EF于点P。过B作BM⊥AC于M，连接EM、PM。

(1)依题意补全图形；

(2)若AD＝DC，探究EM与PM的数量关系与位置关系，并加以证明。

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）EM⊥PM，EM=PM，证明见解析．

【解析】

（1）根据要求画出图形即可；

（2）连接MD，证明△ABD≌△PEC，则AD=PC，可得出PC=DC，再证△DCM≌△PCM，则MD=MP，∠PMC=∠DMC，再证△MDB≌△MEC，则MD=ME，∠BMD=∠CME，即可得出EM与PM的数量关系与位置关系.

解：（1）补全的图形如图所示；

（2）EM⊥PM，EM=PM.

证明：连接DM，∵EF∥AB，∴∠ABD=∠PEC，

∵AD是△ABC的高线，CP⊥BC，

∴∠ADB=∠PCE=90°，

∵BD=EC，

∴△ABD≌△PEC，

∴AD=PC，

∵AD＝DC，

∴PC=DC，

∵AD是△ABC的高线，CP⊥BC，AD＝DC，

∴∠ACD=∠ACP=45°，

又∵CM=CM，

∴△DCM≌△PCM，

∴MD=MP，∠PMC=∠DMC；

∵BM⊥AC，∠ACD=45°，

∴MB=MC，∠ACD=∠MBC=45°，

又∵BD=CE，

∴△MDB≌△MEC，

∴MD=ME，∠BMD=∠CME，

∴MP=ME；

∵BM⊥AC，

∴∠BMD +∠DMC=90°，

∵∠BMD=∠CME，∠PMC=∠DMC，

∴∠CME +∠PMC =90°，即MP⊥ME，

∴EM与PM的数量关系与位置关系是：EM⊥PM，EM=PM.