Question

【题目】如图所示，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，点D是AC的中点，直角∠EDF的两边分别交AB、BC于点E、F，给出以下结论：①AE=BF；②S四边形BEDF=S△ABC；③△DEF是等腰直角三角形；④当∠EDF在△ABC内绕顶点D旋转时D旋转时（点E不与点A、B重合），∠BFE=∠CDF，上述结论始终成立的有（　　）个．

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

Answer 1

【答案】D

【解析】

根据ASA可证△BED≌△CFD，可得BE=CF,DE=DF，易证①AE=BF；②S四边形BEDF=S△ABC；③△DEF是等腰直角三角形；由∠BFE=180-∠DFE-∠DFC,∠CDF=180-∠C-∠DFC, ∠DFE=∠C得∠BFE=∠CDF.

∵ED⊥FD，BD⊥AC，

∴∠BDE+∠BDF=90°，∠BDF+∠FDC=90°，

∴∠BDE=∠FDC，

∵△ABC为等腰直角三角形，BD⊥AC，

∴∠EBD=∠C=45°，BD=CD，

在△BED和△CFD中，

，

∴△BED≌△CFD（ASA），

∴BE=CF，

∴AE=BF，选项①正确；

DE=DF，

∴△DEF为等腰直角三角形，选项③正确；

∴S四边形BEDF=S△BED+S△BDF=S△CFD+S△BDF=S△BDC=S△ABC，选项②正确．

∵∠BFE=180-∠DFE-∠DFC,∠CDF=180-∠C-∠DFC, ∠DFE=∠C=45,

∴∠BFE=∠CDF，选项④正确；

上述结论中始终成立的有4个．

故选：D