Question

【题目】如图 1，直线分别交于点(点在点的右侧)，若

（1）求证:；

（2）如图2所示，点在之间，且位于的异侧，连， 若，则三个角之间存在何种数量关系，并说明理由．

（3）如图 3 所示,点在线段上，点在直线的下方，点是直线上一点（在的左侧），连接,若,则请直接写出与之间的数量

Answer 1

【答案】（1）证明过程见解析；（2），理由见解析；（3）∠N+∠PMH=180°.

【解析】

（1）根据同旁内角互补，两直线平行即可判定AB∥CD；

（2）设∠N=，∠M=，∠AEM=，∠NFD=，过M作MP∥AB，过N作NQ∥AB可得∠PMN=-，∠QNM=-，根据平行线性质得到-=-，化简即可得到；

（3）过点M作MI∥AB交PN于O，过点N作NQ∥CD交PN于R，根据平行线的性质可得∠BPM=∠PMI，由已知得到∠MON=∠MPN+∠PMI=3∠PMI及∠RFN=180°-∠NFH-∠HFD=180°-3∠HFD，根据对顶角相等得到∠PRF=∠FNP+∠RFN=∠FNP+180°-3∠RFM，化简得到∠FNP+2∠PMI-2∠RFM=180°-∠PMH，根据平行线的性质得到3∠PMI+∠FNP+∠FNH=180°及3∠RFM+∠FNH=180°，两个等式相减即可得到∠RFM-∠PMI=∠FNP，将该等式代入∠FNP+2∠PMI-2∠RFM=180°-∠PMH，即得到∠FNP=180°-∠PMH，即∠N+∠PMH=180°.

（1）证明：∵∠1=∠BEF，

∴∠BEF+∠2=180°

∴AB∥CD.

（2）解：

设∠N=，∠M=，∠AEM=，∠NFD=

过M作MP∥AB，过N作NQ∥AB

∵，MP∥AB，NQ∥AB

∴MP∥NQ∥AB∥CD

∴∠EMP=，∠FNQ=

∴∠PMN=-，∠QNM=-

∴-=-

即=-

∴

故答案为

（3）解：∠N+∠PMH=180°

过点M作MI∥AB交PN于O，过点N作NQ∥CD交PN于R.

∵，MI∥AB，NQ∥CD

∴AB∥MI∥NQ∥CD

∴∠BPM=∠PMI

∵∠MPN=2∠MPB

∴∠MPN=2∠PMI

∴∠MON=∠MPN+∠PMI=3∠PMI

∵∠NFH=2∠HFD

∴∠RFN=180°-∠NFH-∠HFD=180°-3∠HFD

∵∠RFN=∠HFD

∴∠PRF=∠FNP+∠RFN=∠FNP+180°-3∠RFM

∴∠MON+∠PRF+∠RFM=360°-∠OMF

即3∠PMI+∠FNP+180°-3∠RFM+∠RFM=360°-∠OMF

∴∠FNP+2∠PMI-2∠RFM=180°-∠PMH

∵3∠PMI+∠PNH=180°

∴3∠PMI+∠FNP+∠FNH=180°

∵3∠RFM+∠FNH=180°

∴3∠PMI-3∠RFM+∠FNP=0°

即∠RFM-∠PMI=∠FNP

∴∠FNP+2∠PMI-2∠RFM=∠FNP-2(∠RFM-∠PMI)=180°-∠PMH

∠FNP-2×∠FNP=180°-∠PMH

∠FNP=180°-∠PMH

即∠N+∠PMH=180°

故答案为∠N+∠PMH=180°