Question

【题目】如图，在△ABC中，∠ ACB＝90°，点D在BC边上，且BD＝BC，过点B作CD的垂线交AC于点O，以O为圆心，OC为半径画圆．

（1）求证：AB是⊙O的切线；

（2）若AB＝10，AD＝2，求⊙O的半径．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）⊙O的半径为

【解析】（1）连接OD，先证△DBO≌△CBO，再证∠ODB＝∠OCB＝90°即可；（2）在Rt△ABC中由勾股定理建立方程，从而求出⊙O的半径．

（1）证明：连接OD

∵BD＝BC，BO⊥CD

∴∠DBO＝∠CBO

∵BD＝BC，∠DBO＝∠CBO，OB＝OB

∴△DBO≌△CBO

∴OD＝OC，∠ODB＝∠OCB＝90°

∴AB是⊙O的切线

（2）∵AB＝10，AD＝2，∴BC＝BD＝AB－AD＝8

在Rt△ABC中，

设⊙O的半径为r，则OD＝OC＝r，AO＝AC－OC＝6－r

在Rt△ADO中，∵AD2＋OD2＝AO2

∴22＋r 2＝（6－r）2

解之得，即⊙O的半径为

“点睛”本题考查了圆的切线的判定以及勾股定理的运用，解题关键是在直角三角形中利用勾股定理列出方程．