Question

【题目】如图，△ABC和△ACD均为等边三角形，E是BC上的一个动点，F是CD上的一个动点，且∠EAF＝60°.

(1)请判断△AEF的形状，并说明理由；

(2)当AB＝4时，求△AEF面积的最小值．

Answer 1

【答案】(1)见解析;(2)3.

【解析】(1)由等边三角形的性质得到AD＝AC，∠D＝∠ACB＝60°，∠BAC＝∠CAD＝60°．再由∠EAF＝60°，得到∠EAC＝∠FAD．即可证明△AEC≌△AFD，由全等三角形的性质得到AE＝AF，即可得到△AEF是等边三角形．

(2)由△AEF为等边三角形，得到S△AEF＝AE2．要使S△AEF最小，则需使AE最小，当AE⊥BC时，AE最小．求出AE的最小值，代入计算即可．

(1)△AEF是等边三角形．理由如下：

∵△ABC和△ACD均为等边三角形，∴AD＝AC，∠D＝∠ACB＝60°，∠BAC＝∠CAD＝60°．

又∵∠EAF＝60°，∴∠EAC＝∠FAD．在△AEC与△AFD中，∵∠EAC=∠FAD，AC=AD，∠ACE=∠D，∴△AEC≌△AFD(ASA)，∴AE＝AF．

又∵∠EAF＝60°，∴△AEF是等边三角形．

(2)由(1)知△AEF为等边三角形，∴S△AEF＝AE2．要使S△AEF最小，则需使AE最小，当AE⊥BC时，AE最小．此时．在Rt△ABE中，∵AB＝4，∠B＝60°，∴∠BAE＝30°，∴BE＝AB＝2，∴AE＝．∴S△AEF的最小值为×()2＝．