Question

【题目】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以斜边AB上的中线CD为直径作⊙O，分别与AC、BC相交于点M、N．

(1)过点N作⊙O的切线NE与AB相交于点E，求证：NE⊥AB；

(2)连接MD，求证：MD＝NB．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.

【解析】（1）如图，连接ON，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半可得AD＝CD＝DB，从而可得∠DCB＝∠DBC，再由∠DCB＝∠ONC，可推导得出ON∥AB，再结合NE是⊙O的切线，ON//AB，继而可得到结论；

（2）如图，由（1）可知ON∥AB，继而可得N为BC中点，根据圆周角定理可知∠CMD＝90°，继而可得MD∥CB，再由D是AB的中点，根据得到MD＝NB．

（1）如图，连接ON，

∵CD是Rt△ABC斜边AB上的中线，

∴AD＝CD＝DB，

∴∠DCB＝∠DBC，

又∵OC=ON，∴∠DCB＝∠ONC，

∴∠ONC＝∠DBC，

∴ON∥AB，

∵NE是⊙O的切线，ON是⊙O的半径，

∴∠ONE＝90°，

∴∠NEB＝90°，即NE⊥AB；

（2）如图所示，由（1）可知ON∥AB，

∵OC＝OD，∴

∴CN＝NB＝CB，

又∵CD是⊙O的直径，∴∠CMD=90°，

∵∠ACB=90°，

∴∠CMD+∠ACB=180°，∴MD//BC，

又∵D是AB的中点，∴MD＝CB，

∴MD＝NB．