Question

【题目】如图，二次函数y=ax2+bx的图象经过点A（2，4）与B（6，0）．

（1）求a，b的值；
（2）点C是该二次函数图象上A，B两点之间的一动点，横坐标为x（2＜x＜6），写出四边形OACB的面积S关于点C的横坐标x的函数表达式，并求S的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：将A（2，4）与B（6，0）代入y=ax2+bx，

得 ，解得： ；

（2）

解：如图，

过A作x轴的垂直，垂足为D（2，0），连接CD，过C作CE⊥AD，CF⊥x轴，垂足分别为E，F，

S△OAD= ODAD= ×2×4=4；

S△ACD= ADCE= ×4×（x﹣2）=2x﹣4；

S△BCD= BDCF= ×4×（﹣ x2+3x）=﹣x2+6x，

则S=S△OAD+S△ACD+S△BCD=4+2x﹣4﹣x2+6x=﹣x2+8x，

∴S关于x的函数表达式为S=﹣x2+8x（2＜x＜6），

∵S=﹣x2+8x=﹣（x﹣4）2+16，

∴当x=4时，四边形OACB的面积S有最大值，最大值为16

【解析】（1）把A与B坐标代入二次函数解析式求出a与b的值即可；（2）如图，过A作x轴的垂直，垂足为D（2，0），连接CD，过C作CE⊥AD，CF⊥x轴，垂足分别为E，F，分别表示出三角形OAD，三角形ACD，以及三角形BCD的面积，之和即为S，确定出S关于x的函数解析式，并求出x的范围，利用二次函数性质即可确定出S的最大值，以及此时x的值．此题考查了待定系数法求二次函数解析式，以及二次函数的最值，熟练掌握二次函数的性质是解本题的关键．
【考点精析】认真审题，首先需要了解二次函数的最值(如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当x=-b/2a时，y最值=(4ac-b2)/4a)．