Question

【题目】如图,AP,CP分别平分∠BAC,∠ACD,∠P=90°,设∠BAP=α.

(1)用α表示∠ACP;

(2)求证:AB∥CD;

(3)若AP∥CF,求证:FC平分∠DCE.

Answer 1

【答案】（1）∠CAP=90°-α； （2）证明见解析；（3）证明见解析；

【解析】试题分析：（1）由角平分线的定义可得∠PAC=α，在Rt△PAC中根据直角三角形的性质可求得∠ACP；

（2）结合（1）可求得∠ACD，可证明∠ACD+∠BAC=180°，可证明AB∥CD；

（3）由平行线的性质可得∠ECF=∠CAP，∠ECD=∠CAB，结合条件可证得∠ECF=∠FCD，可证得结论．

试题解析：（1）解：∵AP平分∠BAC，∴∠CAP=∠BAP=α．

∵∠P=90°，∴∠ACP=90°-∠CAP=90°-α；

（2）证明：由（1）可知∠ACP=90°-α．

∵CP平分∠ACD，∴∠ACD=2∠ACP=180°-2α．

又∠BAC=2∠BAP=2α，∴∠ACD+∠BAC=180°，∴AB∥CD；

（3）证明：∵AP∥CF，∴∠ECF=∠CAP=α．

由（2）可知AB∥CD，∴∠ECD=∠CAB=2α，∴∠DCF=∠ECD-∠ECF=α，∴∠ECF=∠DCF，∴CF平分∠DCE．