Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x2+ 与y轴相交于点A，点B与点O关于点A对称．
（1）填空：点B的坐标为；
（2）过点B的直线y=kx+b（其中k＜0）与x轴相交于点C，过点C作直线l平行于y轴，P是直线l上一点，且PB=PC，求线段PB的长（用含k的式子表示），并判断点P是否在抛物线上，说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）（0， ）
（2）解：∵B点坐标为（0， ），

∴直线解析式为y=kx+ ，

解得：x=﹣ ．

∴OC=﹣ ．

∵PB=PC，

∴点P只能在x轴上方，

如图，过点B作BD⊥l于点D，设PB=PC=m，

则BD=OC=﹣ ，CD=OB= ，

∴PD=PC﹣CD=m﹣ ，

在Rt△PBD中，由勾股定理可得PB2=PD2+BD2，即m2=（m﹣ ）2+（﹣ ）2，

解得：m= + ．

∴PB= + ．

∴点P坐标为（﹣ ， + ）．

当x=﹣ 时，代入抛物线解析式可得：y= + ，

∴点P在抛物线上．

【解析】解：（1）∵y=﹣x2+ 的顶点A的坐标为（0， ）， ∴原点O关于点A的对称点B的坐标为（0， ），
所以答案是：（0， ）；
【考点精析】关于本题考查的抛物线与坐标轴的交点，需要了解一元二次方程的解是其对应的二次函数的图像与x轴的交点坐标．因此一元二次方程中的b2-4ac，在二次函数中表示图像与x轴是否有交点．当b2-4ac>0时，图像与x轴有两个交点；当b2-4ac=0时，图像与x轴有一个交点；当b2-4ac<0时，图像与x轴没有交点．才能得出正确答案．