Question

【题目】如图，已知P是⊙O外一点，PO交圆O于点C，OC=CP=2，弦AB⊥OC，劣弧AB的度数为120°，连接PB．
（1）求BC的长；
（2）求证：PB是⊙O的切线．

Answer 1

【答案】
（1）解：连接OB，

∵弦AB⊥OC，劣弧AB的度数为120°，

∴弧BC与弧AC的度数为：60°，

∴∠BOC=60°，

∵OB=OC，

∴△OBC是等边三角形，

∴BC=OC=2

（2）方法一：

证明：∵OC=CP，BC=OC，

∴BC=CP，

∴∠CBP=∠CPB，

∵△OBC是等边三角形，

∴∠OBC=∠OCB=60°，

∴∠CBP=30°，

∴∠OBP=∠CBP+∠OBC=90°，

∴OB⊥BP，

∵点B在⊙O上，

∴PB是⊙O的切线．

方法二：

证明：∵OC=CP=2，

∴OP=4，

由（1）可知：BC=OC=2，

∴BC= OP，∠BOC=60°，

∴△OBP是直角三角形，

∴∠OBP=90°，

∴OB⊥BP，

∴PB是⊙O的切线

【解析】（1）首先连接OB，由弦AB⊥OC，劣弧AB的度数为120°，易证得△OBC是等边三角形，则可求得BC的长；（2）由OC=CP=2，△OBC是等边三角形，可求得BC=CP，即可得∠P=∠CBP，又由等边三角形的性质，∠OBC=60°，∠CBP=30°，则可证得OB⊥BP，继而证得PB是⊙O的切线．