Question

【题目】如图，tan∠GAB=，AB=10cm，点P从点B出发以5cm/s的速度沿BA向终点A运动，同时点Q以相同的速度从点A出发沿射线AG运动，分别以PB、PQ为边作等边△BPD，正方形PQEF，连接PE，设运动的时间为ts．

（1）当PE⊥AG时，求t的值；

（2）当△APQ是等腰三角形时，求t的值；

（3）当点F落在△BPD的边上时，请直接写出t的值．

Answer 1

【答案】(1)t=．(2)当△APQ是等腰三角形时，t的值为1s， s， s．

(3)t=s或s时，点F落在△BPD的边上．

【解析】

试题分析：（1）如图1，设PE交AG于点M，过点Q作QN⊥AP于N，在RT△ANQ中，tan∠GAB=，设QN=3k，AN=4k，则AQ=5k，列出方程即可角问题．

（2）如图2中，过点Q作QH⊥AP于H，分三种情形①当AQ=AP时，②当AP=PQ时，③当AQ=PQ时，列出方程即可．

（3））①如图3中，当点F在直线PD上时，作QH⊥AB于H，②如图4中，当点F在直线PB上时，③如图5中，当点F在BD边上时，作QH⊥AB于H，FM⊥AB于M．

分别列出方程即可解决问题．

试题解析：（1）如图1，设PE交AG于点M．

∵四边形PQEF是正方形，∴PE⊥FQ，∴当PE⊥AG时，点F在AG上，∴PM=MQ，

过点Q作QN⊥AP于N，在RT△ANQ中，tan∠GAB=，设QN=3k，AN=4k，则AQ=5k，

∴sin∠MAP=，cos∠MAP=，∵AP=10﹣5t，

∴MQ═PM=APsin∠MAP=6﹣3t，AM=APcos∠MAP=8﹣4t，

∵AQ=5t，∴5t+（6﹣3t）=8﹣4t，

∴t=．

（2）如图2中，过点Q作QH⊥AP于H，

在RT△AQH中，AQ=5t，

∴AH=AQsin∠MAP=5t=4t，QH=AQsin∠MAP=3t，

∵AP=10﹣5t，

∴HP=10﹣9t，

在RT△PQH中，∵∠PHQ=90°，

∴PQ2=HQ2+PH2=（10﹣9t）2+（3t）2=90t2﹣180t+100，

①当AQ=AP时，10﹣5t=5t，解得t=1，

②当AP=PQ时，（10﹣5t）2=90t2﹣180t+100，解得t=（或0舍弃），

③当AQ=PQ时，10﹣5t=3t，解得t=，

综上所述，当△APQ是等腰三角形时，t的值为1s， s， s．

（3）①如图3中，当点F在直线PD上时，作QH⊥AB于H，

∵∠QOH+∠DPB=90°，∠DPB=60°，

∴∠QPH=30°，

∴PF=PQ=2QH=6t＞5t，

∴PF＞PD，

这种情形不符合题意．

②如图4中，当点F在直线PB上时，

在RT△AQP中，∵AQ=5t．AP=4t，

又∵AP=10﹣5t，

∴4t=10﹣5t，

∴t=，此时PQ=4t＜5t，符合题意．

③如图5中，当点F在BD边上时，作QH⊥AB于H，FM⊥AB于M．

由△QPH≌△PFM，得到QH=PM=3t，HP=FN=10﹣5t﹣4t=10﹣9t，

在RT△FNB中，∵∠B=60°，

∴BM=FM=（10﹣9t），

∵PM+BM=PB，

∴3t+（10﹣9t）=5t，

∴t=．

综上所述t=s或s时，点F落在△BPD的边上．