Question

【题目】已知点A，B在数轴上分别表示m，n，其中m＜n．

（1）填写下表；

m	3	﹣6	﹣5
n	5	4	﹣4
A，B两点的距离

（2）若A，B两点的距离为d，则d与m，n的数量关系为　 　；

（3）若S＝|x﹣3|+|x﹣4|+|x﹣5|+…+|x﹣2018|，求S的最小值，并写出当S取最小值时x的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）2，10，1；（2）d＝|n﹣m|；（3）1088064．1010≤x≤1011

【解析】

（1）结合点在数轴上的位置进行计算；

（2）根据（1）即可发现规律：数轴上两点间的距离等于表示两个点的数的差的绝对值，或直接让较大的数减去较小的数；

（3）利用S＝|x﹣3|+|x﹣4|+|x﹣5|+…+|x﹣2018|是数轴上点x 与 3、4、5、…2018的距离和，进而得出当1010≤x≤1011 时，S最小求出即可．

（1）填写下表；

m	3	﹣6	﹣5
n	5	4	﹣4
A，B两点的距离	2	10	1

故答案为：2，10，1；

（2）d＝n﹣m，

故答案为：d＝n﹣m；

（3）根据绝对值的几何意义，|x﹣a|的意义是数轴上表示数x的点到表示数a的点之间的距离．

s＝|x﹣3|

当x＝3时，s有最小值s＝0

s＝|x﹣3|+|x﹣4|

当3≤x≤4 时，s有最小值s＝4﹣3＝1

s＝|x﹣3|+|x﹣4|+|x﹣5|

当x＝4时，S有最小值S＝2

s＝|x﹣3|+|x﹣4|+|x﹣5|+|x﹣6|

当4≤x≤5 时，S有最小值S＝（6﹣3）+（5﹣4）＝3+1＝4

s＝|x﹣3|+|x﹣4+|x﹣5|+|x﹣6|+|x﹣7|

当x＝5时，S有最小值S＝（7﹣3）+（6﹣4）+0＝4+2＝6，

…

根据观察所得规律

|x﹣3|+|x﹣4|+|x﹣5|+…+|x﹣2018|共有（2018﹣3）+1＝2016项

（2018+3）÷2＝1010.5，

∴1010≤x≤1011，

当1010≤x≤1011时，S有最小值，

S＝（2018﹣3）+（2017﹣4）+（2016﹣5）+…（1011﹣1010）

＝2015+2013+2011+…+1

＝（2015+1）×1008

＝1088064．