Question

【题目】二次函数y=（x﹣1）2+k分别与x轴、y轴交于A、B、C三点，点A在点B的左侧，直线y=﹣ x+2经过点B，且与y轴交于点D．
（1）如图1，求k的值；

（2）如图2，在第一象限的抛物线上有一动点P，连接AP，过P作PE⊥x轴于点E，过E作EF⊥AP于点F，过点D作平行于x轴的直线分别与直线FE、PE交于点G、H，设点P的横坐标为t，线段GH的长为d，求d与t的函数关系式，并直接写出t的取值范围；

（3）在（2）的条件下，过点G作平行于y轴的直线分别交AP、x轴和抛物线于点M、T和N，tan∠MEA= ，点K为第四象限抛物线上一点，且在对称轴左侧，连接KA，在射线KA上取一点R，连接RM，过点K作KQ⊥AK交PE的延长线于Q，连接AQ、HK，若∠RAE﹣∠RMA=45°，△AKQ与△HKQ的面积相等，求点R的坐标．

Answer 1

【答案】
（1）解：在一次函数y=﹣ x+2中，令y=0，得：0=﹣ x+2，

解得x=3，

∴B（3，0）．

令x=0得y=2，

∴D（0，2）．

将B（3，0），代入y=（x﹣1）2+k得：4+k=0，

∴k=﹣4．

（2）解：如答图1所示：

∵PE⊥x轴，EF⊥AP，

∴∠PEA=∠EFA=90°

∵∠PEF+∠FEA=90°，∠PAE+∠FEA=90°

∴∠PEF=∠PAE．

∵DH∥x轴 HE⊥x轴

∴∠HDO=∠DOE=∠PEO=90°

∴四边形DOEH为矩形．

∴HE=2．

∴ = ，

∴ = ．

∴d=2t﹣6．（t＞3）．

（3）解：∵∠TGH=∠GTE=∠TEH=90°，

∴GHET为矩形．

∴GH=d=ET=2t﹣6．

∵tan∠MEB= ，

∴ = ，

∴MT=3t﹣9．

∵ = ．

∴ = ，

解得t=4．

∴P（4，5）．

∴AT=AE﹣ET=t+1﹣（2t﹣6）=7﹣t=3．

∴M（2，3）

把x=2代入y=x2﹣2x﹣3中，得N（2，﹣3）

∴MT=TN=AT，∠MAT=90°．

∵∠RAE﹣∠RMA=45°，

∴∠RAE﹣45°=∠RMA，

∴∠RAM=∠RMA，

∵S△AKQ=S△HKQ，作HW⊥KQ．

∴AK∥HW，AK=HW，

∴四边形AKWH是矩形，

∴∠RAH=∠HAK=90°，

∴∠RAM=∠HAN．

∵A（﹣1，0），H（4，2），N（2，﹣3），

∴AH=HN= ，

∴∠HAN=∠HNA=∠RAM=∠RMA．

又∵AM=AN，

∴△RAM≌△HAN，

∴AR=AH．

过R作RL⊥x轴，

∴∠RLA=∠AEH=90°，

∵∠RAL+∠HAE=90，∠HAE+∠AHE=90，

∴∠RAL=∠AHE，

∴△ARL≌△AHE．

∴RL=AE=5，AL=HE=3

∴R（﹣3，5）．

由∠RAM﹣∠RMA=45°可知∠RAV=∠RVA，∠RMT=∠HAE，tan∠RMT=tan∠HAE= ，V（ ，0），

直线MR的解析式为y= x﹣2，直线AK的解析式为y=﹣ x﹣ ，

交点R（﹣ ， ）．

【解析】（1）先求出一次函数与两坐标轴的交点B、D的坐标，再将点B的坐标代入二次函数解析式即可求得k的值。
（2）根据已知PE⊥x轴，EF⊥AP，得出∠PEA=∠EFA=90°，再根据同角的余角相等，证得∠PEF=∠PAE．根据矩形的性质得出HE=2．然后利用三角形函数的定义得出线段成比例，建立方程，可求出d与t的函数关系式及x的取值范围。
（3）利用（2）中求得的函数关系式，根据矩形的性质及三角函数的定义先求出点P和点M的坐标，由MN平行y轴，因此将x=2代入二次函数解析式，即可求得点N的坐标，即可得出MT=TN=AT，添加辅助线作HS⊥KQ．去证明四边形AKSH是矩形，推出∠RAM=∠HAN，再证明△RAM≌△HAN，得出AR=AH．过R作RL⊥x轴，易正明△ARL≌△AHE．得出RL=AE=5，AL=HE=3，可得到点R的坐标，再求出直线MR的解析式和直线AK的解析式，即可求出两直线的交点R的坐标。
【考点精析】解答此题的关键在于理解确定一次函数的表达式的相关知识，掌握确定一个一次函数，需要确定一次函数定义式y=kx+b（k不等于0）中的常数k和b．解这类问题的一般方法是待定系数法，以及对解直角三角形的理解，了解解直角三角形的依据：①边的关系a2+b2=c2；②角的关系：A+B=90°；③边角关系：三角函数的定义．(注意：尽量避免使用中间数据和除法)．