Question

【题目】如图，P为反比例函数y= （k＞0）在第一象限内图象上的一点，过点P分别作x轴，y轴的垂线交一次函数y=﹣x﹣4的图象于点A，B．若∠AOB=135°，则k的值是（ ）

A.2
B.4
C.6
D.8

Answer 1

【答案】D
【解析】解：方法1、作BF⊥x轴，OE⊥AB，CQ⊥AP；设P点坐标（n， ），

∵直线AB函数式为y=﹣x﹣4，PB⊥y轴，PA⊥x轴，

∴C（0，﹣4），G（﹣4，0），

∴OC=OG，

∴∠OGC=∠OCG=45°

∵PB∥OG，PA∥OC，

∴∠PBA=∠OGC=45°，∠PAB=∠OCG=45°，

∴PA=PB，

∵P点坐标（n， ），

∴OD=CQ=n，

∴AD=AQ+DQ=n+4；

∵当x=0时，y=﹣x﹣4=﹣4，

∴OC=DQ=4，GE=OE= OC= ；

同理可证：BG= BF= PD= ，

∴BE=BG+EG= + ；

∵∠AOB=135°，

∴∠OBE+∠OAE=45°，

∵∠DAO+∠OAE=45°，

∴∠DAO=∠OBE，

∵在△BOE和△AOD中， ，

∴△BOE∽△AOD；

∴ = ，即 = ；

整理得：nk+2n2=8n+2n2，化简得：k=8；

所以答案是：D．

方法2、如图1，

过B作BF⊥x轴于F，过点A作AD⊥y轴于D，

∵直线AB函数式为y=﹣x﹣4，PB⊥y轴，PA⊥x轴，

∴C（0，﹣4），G（﹣4，0），

∴OC=OG，

∴∠OGC=∠OCG=45°

∵PB∥OG，PA∥OC，

∴∠PBA=∠OGC=45°，∠PAB=∠OCG=45°，

∴PA=PB，

∵P点坐标（n， ），

∴A（n，﹣n﹣4），B（﹣4﹣ ， ）

∴AD=AQ+DQ=n+4；

∵当x=0时，y=﹣x﹣4=﹣4，

∴OC=4，

当y=0时，x=﹣4．

∴OG=4，

∵∠AOB=135°，

∴∠BOG+∠AOC=45°，

∵直线AB的解析式为y=﹣x﹣4，

∴∠AGO=∠OCG=45°，

∴∠BGO=∠OCA，∠BOG+∠OBG=45°，

∴∠OBG=∠AOC，

∴△BOG∽△OAC，

∴ = ，

∴ = ，

在等腰Rt△BFG中，BG= BF= ，

在等腰Rt△ACD中，AC= AD= n，

∴ ，

∴k=8，

所以答案是：D．

【考点精析】通过灵活运用反比例函数的图象和相似三角形的判定，掌握反比例函数的图像属于双曲线．反比例函数的图象既是轴对称图形又是中心对称图形．有两条对称轴：直线y=x和 y=-x．对称中心是：原点；相似三角形的判定方法:两角对应相等，两三角形相似（ASA）；直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似； 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似（SAS）；三边对应成比例，两三角形相似（SSS）即可以解答此题．