【题目】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+ x+c（a≠0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），与y轴交于点C，点A的坐标为（4，0），抛物线的对称轴是直线x= ．

（1）求抛物线的解析式；
（2）M为第一象限内的抛物线上的一个点，过点M作MG⊥x轴于点G，交AC于点H，当线段CM=CH时，求点M的坐标；
（3）在（2）的条件下，将线段MG绕点G顺时针旋转一个角α（0°＜α＜90°），在旋转过程中，设线段MG与抛物线交于点N，在线段GA上是否存在点P，使得以P、N、G为顶点的三角形与△ABC相似？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．

参考答案：

【答案】
（1）

解：∵x=﹣ = ，b= ，

∴a=﹣ ，

把A（4，0），a=﹣ 代入y=ax2+ x+c，

可得（ ）×42+ ×4+c=0，

解得c=2，

则抛物线解析式为y=﹣ x2+ x+2


（2）

解：如图1，连接CM，过C点作CE⊥MH于点E，

，

∵y=﹣ x2+ x+2，

∴当x=0时，y=2，

∴C点的坐标是（0，2），

设直线AC解析式为y=kx+b（k≠0），

把A（4，0）、C（0，2）代入y=kx+b，

可得 ，

解得： ，

∴直线AC解析式为y=﹣ x+2，

∵点M在抛物线上，点H在AC上，MG⊥x轴，

∴设点M的坐标为（m，﹣ m2+ m+2），H（m，﹣ m+2），

∴MH=﹣ m2+ m+2﹣（﹣ m+2）=﹣ m2+2m，

∵CM=CH，OC=GE=2，

∴MH=2EH=2×[2﹣（﹣ m+2）]=m，

又∵MH=﹣ m2+2m，

∴﹣ m2+2m=m，

即m（m﹣2）=0，

解得m=2或m=0（不符合题意，舍去），

∴m=2，

当m=2时，

y=﹣ ×22+ ×2+2=3，

∴点M的坐标为（2，3）


（3）

解：存在点P，使以P，N，G为顶点的三角形与△ABC相似，理由为：

∵抛物线与x轴交于A、B两点，A（4，0），A、B两点关于直线x= 成轴对称，

∴B（﹣1，0），

∵AC= =2 ，BC= = ，AB=5，

∴AC2+BC2= + =25，AB2=52=25，

∵AC2+BC2=AB2=25，

∴△ABC为直角三角形，

∴∠ACB=90°，

线段MG绕G点旋转过程中，与抛物线交于点N，当NP⊥x轴时，∠NPG=90°，

设P点坐标为（n，0），

则N点坐标为（n，﹣ n2+ n+2），

①如图2，

当 = 时，

∵∠N1P1G=∠ACB=90°，

∴△N1P1G∽△ACB，

∴ = ，

解得：n1=3，n2=﹣4（不符合题意，舍去），

∴P的坐标为（3，0）．

②当 = 时，

∵∠N2P2G=∠BCA=90°，

∴△N2P2G∽△BCA，

∴ ，

解得：n1=1 ，n2=1﹣ （不符合题意，舍去），

∴P的坐标为（1+ ，0）．

∴存在点P（3，0）或（1 ，0），使以P，N，G为顶点的三角形与△ABC相似．


【解析】（1）首先利用对称轴公式求出a的值，然后把点A的坐标与a的值代入抛物线的解析式，求出c的值，即可确定出抛物线的解析式．（2）首先根据抛物线的解析式确定出点C的坐标，再根据待定系数法，确定出直线AC解析式为y=﹣ x+2；然后设点M的坐标为（m，﹣ m2+ m+2），H（m，﹣ m+2），求出MH的值是多少，再根据CM=CH，OC=GE=2，可得MH=2EH，据此求出m的值是多少，再把m的值代入抛物线的解析式，求出y的值，即可确定点M的坐标．（3）首先判断出△ABC为直角三角形，然后分两种情况：①当 = 时；②当 = 时；根据相似三角形的性质，判断出是否存在点P，使得以P、N、G为顶点的三角形与△ABC相似即可．

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