Question

【题目】如图，已知是⊙的直径，弦与交于点，过点作⊙的切线与的延长线交于点， 交直线于点．

（）若，求证： 是⊙的切线；

（）如果， 且为的中点，求直径的长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）24.

【解析】试题分析：（1）连接OC，因AC=BC，OA=OB，根据等腰三角形的三线合一的性质可得OC⊥AB，再由CG∥AB，即可得OC⊥CG,结论得证；（2）连接BC，由AF为圆O的切线，利用切线的性质得到AB与AF垂直，可得出∠DAF与∠DAB互余，再由D为EF的中点，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半及中点的定义得到AD=DE=DF，利用等边对等角得到∠DAF=∠AFC，又AB为圆的直径，根据直径所对的圆周角为直角，可得出∠ACB为直角，即∠ECB与∠FCA互余，再由同弧所对的圆周角相等得到∠ECB=∠DAB，利用等角的余角相等可得出∠DAF=∠FCA，等量代换可得出∠FCA=∠AFC；过C作CH⊥AB，垂足为H，又AF⊥AB，利用平面内垂直于同一条直线的两直线平行，得到AF∥CG，根据两直线平行内错角相等得到一对角相等，再由对顶角相等，利用两对对应角相等的两三角形相似可得△AEF∽△HEC，由相似得比例列出比例式，由DF=DE及DE与EC的比值，求出CE与EF的比值，可得出AF：CH的值，又AF=AC，进而确定出AC与CH的比值，利用锐角三角形函数定义求出cos∠CAB的值，在直角△ABC中，由AC的长及cos∠CAB的值，利用锐角函数定义即可求出AB的长．

试题解析：

（1）连接OC，

∵AC=BC，OA=OB，

∴OC⊥AB，

∵CG∥AB，

∴OC⊥CG,

∴是⊙的切线；

（2）连接BC，AD．

∵AF为⊙O的切线，

∴AF⊥AB，即∠DAF+∠DAB=90°，

∵D为EF的中点，

∴DF=DE=AD，

∴∠DAF=∠AFC，

∵∠DAF=∠ACF，

∴∠FCA=∠AFC；

过C作CH⊥AB于H，

∵AF⊥AB，

∴AF∥CH，

∴∠F=∠ECH，又∠AEF=∠CEH，

∴△AEF∽△HEC，

∴AF：CH=AE：EH=EF：EC，

∵DE=CE，DF=DE，

∴CE：FE=2：3，

∴CH：AF=2：3，

∵∠FCA=∠AFC，

∴AF=AC=8 ，

Rt△ACH中，CH：AC=2：3，

∴cos∠CAB=，

在Rt△ACB中，AC=8，

∴AB==24．