Question

【题目】如图（1），在△ABC中，∠C=90°，AB=5cm，BC=3cm，动点P在线段AC上以5cm/s的速度从点A运动到点C，过点P作PD⊥AB于点D，将△APD绕PD的中点旋转180°得到△A′DP，设点P的运动时间为x（s）．

（1）当点A′落在边BC上时，求x的值；

（2）在动点P从点A运动到点C过程中，当x为何值时，△A′BC是以A′B为腰的等腰三角形；

（3）如图（2），另有一动点Q与点P同时出发，在线段BC上以5cm/s的速度从点B运动到点C，过点Q作QE⊥AB于点E，将△BQE绕QE的中点旋转180°得到△B′EQ，连结A′B′，当直线A′B′与△ABC的一边垂直时，求线段A′B′的长．

Answer 1

【答案】（1）当点A′落在边BC上时， x＝；

（2）当A′B＝A′C时，x=；

（3）当A′B′⊥AB时,x=,A1B1=；当A′B′⊥BC时x=, A1B1=；当A′B′⊥AC时x=, A1B1=．

【解析】（1）利用相似三角形直接求出x的值；（2）由A′B＝BC得出一元二次方程求出x的值；（3）利用分类讨论思想求出线段A′B′长的三种情况．

解：（1）如图（1）当点A′落在边BC上时，由题意得

四边形AP A′D为平行四边形

∵△APD∽△ABC，AP=5x，

∴ A′P=AD=4x，PC=4－5x．

∵A′P//AB ∴△A′PC∽△ABC．

x＝．

当点A′落在边BC上时， x＝．

（2）当A′B＝BC时,,解得： ．

∵ x≤， ∴．

当A′B＝A′C时，x=．分）

(3) 当A′B′⊥AB时,x=,A1B1=．

当A′B′⊥BC时x=, A1B1= ．

当A′B′⊥AC时x=, A1B1=．

“点睛”此题是几何变换综合题，主要考查了锐角三角函数的意义，相似三角形，解本题的关键是要分类要分准，难点是分类.