Question

【题目】如图，AC为⊙O的直径，AB=BD，BD交AC于F，BE∥AD交AC的延长线于E点
（1）求证：BE为⊙O的切线；
（2）若AF=4CF，求tan∠E．

Answer 1

【答案】
（1）解：如图，连接CD、OD、BO，延长BO交AD于点G，

在△ABO和△DBO中，

∵ ，

∴△ABO≌△DBO（SSS），

∴∠1=∠ABO，

∴BG⊥AD，

∴∠1+∠2=90°，

∵BE∥AD，

∴∠2=∠3，

∴∠3+∠1=90°，即OB⊥BE，

∴BE为⊙O的切线

（2）解：设CF=x，则AF=4x，

∴AC=5x，OC=OB= AC= x，

∴OF=OC﹣CF= x﹣x= x，

∵AC为⊙O的直径，

∴∠ADC=90°，

∴CD∥BG，

∴△CDF∽△OBF，

∴ = ，即 = ，

则CD= x，

∴AD= = = x，

∵BE∥AD，

∴tanE=tan∠CAD= = =

【解析】（1）连接CD、OD、BO，延长BO交AD于点G，证△ABO≌△DBO得∠1=∠ABO，从而得BG⊥AD，即∠1+∠2=90°，根据∠2=∠3知∠3+∠1=90°，得证；（2）设CF=x，则AF=4x、OC=OB= AC= x、OF=OC﹣CF= x，证△CDF∽△OBF得 = ，从而求得CD= x、AD= = x，由tanE=tan∠CAD= 可得答案．
【考点精析】关于本题考查的切线的判定定理和解直角三角形，需要了解切线的判定方法：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线；解直角三角形的依据：①边的关系a2+b2=c2；②角的关系：A+B=90°；③边角关系：三角函数的定义．(注意：尽量避免使用中间数据和除法)才能得出正确答案．