Question

【题目】已知直线l1∥l2 ， A是l1上一点，B是l2上一点，直线l3和直线l1 ， l2交于点C和D，在直线CD上有一点P
（1）如果P点在C、D之间运动时，问∠PAC、∠APB、∠PBD有怎样的数量关系？请说明理由．
（2）若点P在C、D两点的外侧运动时（P点与点C、D不重合），试探索∠PAC、∠APB、∠PBD之间的关系又是如何？（请直接写出答案，不需要证明）

Answer 1

【答案】
（1）解：∠PAC+∠PBD=∠APB．

过点P作PE∥l1，如图1所示．

∵PE∥l1，l1∥l2，

∴PE∥l1∥l2，

∴∠PAC=∠APE，∠PBD=∠BPE，

∵∠APB=∠APE+∠BPE，

∴∠PAC+∠PBD=∠APB

（2）解：过点P作PE∥l1．

当点P在直线l1上方时，如图2所示．

∵PE∥l1，l1∥l2，

∴PE∥l1∥l2，

∴∠PAC=∠APE，∠PBD=∠BPE，

∵∠APB=∠BPE﹣∠APE，

∴∠PBD﹣∠PAC=∠APB．

当点P在直线l2下方时，如图3所示．

∵PE∥l1，l1∥l2，

∴PE∥l1∥l2，

∴∠PAC=∠APE，∠PBD=∠BPE，

∵∠APB=∠APE﹣∠BPE，

∴∠PAC﹣∠PBD=∠APB

【解析】（1）过点P作PE∥l1 ， 由“平行与同一条直线的两直线平行”可得出PE∥l1∥l2 ， 再由“两直线平行，内错角相等”得出∠PAC=∠APE、∠PBD=∠BPE，再根据角与角的关系即可得出结论．（2）按点P的两种情况分类讨论：过点P作PE∥l1 ， 由“平行与同一条直线的两直线平行”可得出PE∥l1∥l2 ， 再由“两直线平行，内错角相等”得出∠PAC=∠APE、∠PBD=∠BPE，再根据角与角的关系即可得出结论．
【考点精析】利用平行线的性质对题目进行判断即可得到答案，需要熟知两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补．