Question

【题目】如图，△ABC中，AC=BC，AB=4，∠ACB=90°，以AB的中点D为圆心DC长为半径作圆DEF，设∠BDF=α（0°＜α＜90°），当α变化时图中阴影部分的面积为 （圆：∠EDF=90°，圆的面积=）

Answer 1

【答案】π﹣2
【解析】解：作DM⊥AC于M，DN⊥BC于N，连接DC，如图所示：

∵CA=CB，∠ACB=90°，
∴∠A=∠B=45°，
DM=AD=AB，DN=BD=AB，
∴DM=DN，
∴四边形DMCN是正方形，
∴∠MDN=90°，
∴∠MDG=90°﹣∠GDN，
∵∠EDF=90°，
∴∠NDH=90°﹣∠GDN，
∴∠MDG=∠NDH，
在△DMG和△DNH中，，
∴△DMG≌△DNH（AAS），
∴四边形DGCH的面积=正方形DMCN的面积，
∵正方形DMCN的面积=DM2=AB2 ， =×42=2，
∴四边形DGCH的面积=AB2 ，
∵扇形FDE的面积=
∴阴影部分的面积=扇形面积﹣四边形DGCH的面积=π﹣2，
所以答案是：π﹣2．
【考点精析】解答此题的关键在于理解扇形面积计算公式的相关知识，掌握在圆上，由两条半径和一段弧围成的图形叫做扇形；扇形面积S=π（R2-r2）．