Question

【题目】如图，过△ABC的顶点A分别作∠ACB及其外角的平分线的垂线，垂直分布为E、F，连接EF交AB于点M，交AC于点N，求证：

（1）四边形AECF是矩形；

（2）MN=BC．

Answer 1

【答案】见解析

【解析】

试题分析：（1）由角平分线的定义和邻补角定义得出∠ECF=90°，由AE⊥CE，AF⊥CF，得出∠AEC=∠AFC=90°，即可得出四边形AECF是矩形；

（2）由矩形的性质得出EN=FN，AN=CN=AC，由直角三角形斜边上的中线性质得出CN=EF=EN，由等腰三角形的性质得出∠NEC=∠ACE=∠BCE，证出EN∥BC，得出△AMN∽△ABC，由相似三角形的对应边成比例即可得出结论．

证明：（1）∵CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，

∴∠ACE=∠BCE=∠ACB，∠ACF=∠ACD，

∵∠ACB+∠ACD=180°，

∴∠ACE+∠ACF=90°，

即∠ECF=90°，

又∵AE⊥CE，AF⊥CF，

∴∠AEC=∠AFC=90°，

∴四边形AECF是矩形；

（2）∵四边形AECF是矩形，

∴EN=FN，AN=CN=AC，

∴CN=EF=EN，

∴∠NEC=∠ACE=∠BCE，

∴EN∥BC，

∴△AMN∽△ABC，

∴==，

∴MN=BC．