Question

【题目】如图，点E、G分别是正方形ABCD的边CD、BC上的点，连接AE、AG分别交对角线BD于点P、Q．若∠EAG=45°，BQ=4，PD=3，则正方形ABCD的边长为（ ）
A.6
B.7
C.7
D.5

Answer 1

【答案】A
【解析】解：如图，延长CB到F，使BF=DE，连接AF，在AF截取AH=AP，连接HQ，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=BC=CD=AD，∠4=∠5=45°，∠BAD=∠ADE=∠ABF=90°，
在Rt△ABF和Rt△ADE中，

∴Rt△ABF≌Rt△ADE（SAS），
∴∠1=∠2，
∴∠GAF=∠2+∠3=∠1+∠3=∠BAD﹣∠EAF=90°﹣45°=45°=∠EAG，
在△PAQ和△HAQ中，

∴△PAQ≌△HAQ（SAS），
∴PQ=HQ，
在△DAP和△BAH中，
，
∴△DAP≌△BAH（SAS），
∴∠6=∠4=45°，DP=BH=3，
∴∠QBH=∠6+∠5=∠4+∠5=90°
∴BH2+BQ2=32+42=HQ2=PQ2 ，
∴PQ=HQ=5，
∴BD=3+5+4=12，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB= BD=6 ，
故选A．
【考点精析】掌握正方形的性质是解答本题的根本，需要知道正方形四个角都是直角，四条边都相等；正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角；正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形；正方形的对角线与边的夹角是45o；正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形．