Question

【题目】如图，四边形ABCD是矩形，AB=6，BC=8，点E在线段AD上，把△ABE沿直线BE翻折，点A落在点A′，EA′的延长线交BC于点F，

（1）如图（1），求证：FE=FB；

（2）当点E在边AD上移动时，点A′的位置也随之变化，

①当点A′恰好落在线段BD上时，如图（2），求AE的长；

②在运动变化过程中，设AE=x，CF=y，求y与x的函数关系式，试判断EF能否平分矩形ABCD的面积？若能，求出x的值；若不能，则说明理由；

（3）当点E在边AD上运动时，点D与点A′之间的距离也随之变化，请直接写出点D与点A′之间距离的变化范围．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析（2）①3；②不存在EF平分矩形ABCD的面积，理由见解析（3）4≤A′D≤8

【解析】

试题分析：（1）证明∠AEB=∠A′EB，∠AEB=∠EBF，得到∠A′EB=∠EBF，证明结论；

（2）①根据相似三角形的判定证明△DA′E∽△DAB，得到成比例线段，代入已知的值，求出AE的长；

②根据勾股定理，得到y与x的关系式；假设EF能平分矩形ABCD的面积，进行计算，然后判断即可；

（3）根据当A′在BD上时，A′D最小，当E与A重合时，A′D最大，确定点D与点A′之间距离的变化范围．

（1）证明：∵△A′BE由△ABE翻折而得∴∠AEB=∠A′EB，

∵四边形ABCD为矩形，

∴AD∥BC，

∴∠AEB=∠EBF，

∴∠A′EB=∠EBF，

∴FE=FB．

（2）解：①由（1）得：∠EA′D=90°，A′E=AE，

设AE=x，则A′E=x，ED=8﹣x，

在△DA′E与△DAB中，

∠A′DE=∠ADB，∠DA′E=∠A=90°，

∴△DA′E∽△DAB，

∴=，

在R t△ABD中，∵AB=6，AD=8，

∴BD=10，

∴=，

解得，x=3，

∴AE=3．

②在Rt△A′BF中，BF=8﹣y，

则A′F=8﹣y﹣x，又A′B=6，

由勾股定理得：62+（8﹣y﹣x）2=（8﹣y）2，

即y=8﹣﹣．

当EF能平分矩形ABCD的面积时，y=x，

则x=8﹣﹣，

整理得：3x2﹣16x+36=0，

∵﹣162﹣4×3×36＜0，

∴方程无解，

∴不存在EF平分矩形ABCD的面积．

（3）解：由题意得，当A′在BD上时，A′D最小，

由①得，A′E=AE=3，DE=8﹣3=5，

由勾股定理，A′D=4，

即A′D最小值为4，

当E与A重合时，A′D最大为8，

∴4≤A′D≤8．