Question

【题目】如图，AB是⊙O的直径，点D，E在⊙O上，∠A=2∠BDE，点C在AB的延长线上，∠C=∠ABD．

（1）求证：CE是⊙O的切线；

（2）若BF=2，EF=，求⊙O的半径长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】分析：（1）连接OE，首先得出△ABD∽△OCE，进而推出∠OCE=90°，即可得到结论；

（2）连接BE，得出△OBE∽△EBF，再利用相似三角形的性质得出OB的长，即可得到结论．

详解：（1）证明：连接OE，

则∠BOE=2∠BDE，又∠A=2∠BDE，

∴∠BOE=∠A，

∵∠C=∠ABD，∠A=∠BOE，

∴△ABD∽△OCE

∴∠ADB=∠OEC，

又∵AB是直径，

∴∠OEC=∠ADB=90°

∴CE与⊙O相切；

（2）连接EB，则∠A=∠BED，

∵∠A=∠BOE，

∴∠BED=∠BOE，

在△BOE和△BEF中，

∠BEF=∠BOE，∠EBF=∠OBE，

∴△OBE∽△EBF，

∴，则，

∵OB=OE，

∴EB=EF，

∴，

∵BF=2，EF=，

∴，

∴OB=．