Question

【题目】如图，抛物线（a≠0）经过点A（4，﹣5），与x轴的负半轴交于点B，与y轴交于点C，且OC=5OB，抛物线的顶点为点D．

（1）求这条抛物线的表达式；

（2）联结AB、BC、CD、DA，求四边形ABCD的面积；

（3）如果点E在y轴的正半轴上，且∠BEO=∠ABC，求点E的坐标．

Answer 1

【答案】（1）；（2）18；（3）E（0，）．

【解析】

试题分析：（1）先得出C点坐标，再由OC=5BO，得出B点坐标，将A、B两点坐标代入解析式求出a，b；

（2）分别算出△ABC和△ACD的面积，相加即得四边形ABCD的面积；

（3）由∠BEO=∠ABC可知，tan∠BEO=tan∠ABC，过C作AB边上的高CH，利用等面积法求出CH，从而算出tan∠ABC，而BO是已知的，从而利用tan∠BEO=tan∠ABC可求出EO长度，也就求出了E点坐标．

试题解析：（1）∵抛物线与y轴交于点C，∴C（0，﹣5），∴OC=5．

∵OC=5OB，∴OB=1，又点B在x轴的负半轴上，∴B（﹣1，0）．

∵抛物线经过点A（4，﹣5）和点B（﹣1，0），∴，解得，∴这条抛物线的表达式为；

（2）由，得顶点D的坐标为（2，﹣9）．连接AC，∵点A的坐标是（4，﹣5），点C的坐标是（0，﹣5），又S△ABC=×4×5=10，S△ACD=×4×4=8，∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD=18；

（3）过点C作CH⊥AB，垂足为点H．

∵S△ABC=×AB×CH=10，AB=，∴CH=，在RT△BCH中，∠BHC=90°，BC=，BH==，∴tan∠CBH=．∵在RT△BOE中，∠BOE=90°，tan∠BEO=，∵∠BEO=∠ABC，∴=，得EO=，∴点E的坐标为（0，）．