【题目】“夕阳红”养老院共有普通床位和高档床位共500张．已知今年一月份入住普通床位老人300人，入住高档床位老人90人，共计收费51万元；今年二月份入住普通床位老人350人，入住高档床位老人100人，共计收费58万元．
（1）求普通床位和高档床位每月收费各多少元？
（2）根据国家养老政策规定，为保障普通居民的养老权益，所有实际入住高档床位数不得超过普通床位数的三分之一；另外为扶持养老企业发展国家民政局财政对每张入住的床位平均每年都是给予养老院企业2400元的补贴．经测算，该养老院普通床位的运营成本是每月1200元/张，入住率为90%；高档床位的运营成本是每月2000元/张，入住率为70%．问该养老院应该怎样安排500张床的普通床位和高档床位数量，才能使每月的利润最大，最大为多少元？（月利润＝月收费－月成本+月补贴）

参考答案：

【答案】
（1）

解：设普通床位月收费为x元，高档床位月收费为y元．

根据题意得：

解之得：.

答：普通床位月收费为800元，高档床位月收费为3000元．


（2）

解：设：应安排普通床位a张，则高档床位为（500－a）张．

由题意：0.7×(500－a)≤0.9×a，

解之得： a≥350

每张床位月平均补贴＝2400÷12＝200元

设月利润总额为w，根据题意得：

w＝90%×800a+70%×3000(500－a)－90%×1200a－70%×2000(500－a)+200a×90%+200(500－a)×70% = －1020a+420000，

∵k＝－1020<0 ∴w随着a的增大而减小

∴当a＝350时，w有最大值＝ －1020×350+420000＝63000.

答：应该安排普通床位350张、高档床位150张，才能使每月的利润最大，最大为63000元.


【解析】（1）此问考查二元一次方程组的应用，根据题干中“共计收费51万元”和“共计收费58万元”两句的等量关系，列出方程组，解出未知数即可.
（2）此问考查一次函数最值得应用，首先求出自变量的取值范围，然后把月利润总额的函数表达式求出，利用一次函数的最值求解.

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