Question

【题目】（问题情境）

如图1，四边形ABCD是正方形，M是BC边上的一点，E是CD边的中点，AE平分∠DAM．求证：AM=AD+MC．

（探究展示）

（2）若四边形ABCD是长与宽不相等的矩形，其他条件不变，如图2，试判断AM=AD+MC是否成立？若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由；

（拓展延伸）

（3）若（2）中矩形ABCD两边AB=6，BC=9，求AM的长．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）结论AM=AD+CM仍然成立；（3）10

【解析】

（1）从平行线和中点这两个条件出发，延长AE、BC交于点N，如图1（1），易证△ADE≌△NCE，从而有AD=CN，只需证明AM=NM即可．
（2）延长AE，BC相交于N，易证△ADE≌△NCE，得AD=CN，AM=MN=NC+MC=AD+MC；．
（3）设MC=x，则BM=BC﹣CN=9﹣x，由（2）知，AM=AD+MC=9+x，在Rt△ABC中，AM2﹣BM2=AB2，即（9+x）2﹣（9﹣x）2=36.

（1）延长AE，BC相交于N，

∵四边形ABCD是正方形，∴AD∥BC，∴∠DAE=∠ENC，

∵AE平分∠DAE，∴∠∠DAE=∠MAE，

∴∠ENC=∠MAE，在△ADE和△NCE中，

，

∴△ADE≌△NCE，∴AD=CN，

∴AM=MN=NC+MC=AD+MC；

（2）结论AM=AD+CM仍然成立，延长AE，BC相交于N，

∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠DAE=∠ENC，

∵AE平分∠DAE，∴∠DAE=∠MAE，

∴∠ENC=∠MAE，

在△ADE和△NCE中，，

∴△ADE≌△NCE，∴AD=CN，∴AM=MN=NC+MC=AD+MC；

（3）设MC=x，则BM=BC﹣CN=9﹣x，

由（2）知，AM=AD+MC=9+x，在Rt△ABC中，AM2﹣BM2=AB2，

（9+x）2﹣（9﹣x）2=36，

∴x=1，∴AM=AD+MC=10．