Question

【题目】在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，设锐角∠AOB＝α，将△DOC按逆时针方向旋转得到△D′OC′（0°＜旋转角＜90°）连接AC′、BD′，AC′与BD′相交于点M．

(1)、当四边形ABCD为矩形时，如图1．求证：△AOC′≌△BOD′．

(2)、当四边形ABCD为平行四边形时，设AC＝kBD，如图2．

①猜想此时△AOC′与△BOD′有何关系，证明你的猜想；

②探究AC′与BD′的数量关系以及∠AMB与α的大小关系，并给予证明．

Answer 1

【答案】(1)、证明过程见解析；(2)、①、△BOD′∽△AOC′，证明过程见解析；(2)、AC′=kBD′，∠AMB＝α，证明过程见解析.

【解析】

试题分析：(1)、根据矩形的性质得出OA=OC=OB=OD，根据旋转可得OD=OD′，OC=OC′，∠D′OD=∠C′OC，根据平角得出∠BOD′=∠AOC′，从而说明三角形全等；(2)、根据平行四边形的性质得出OB=OD，OA=OC，根据旋转得出OD=OD′，OC=OC′，∠D′OD=∠C′OC，根据平角的性质得出∠BOD′=∠AOC′，从而得出三角形相似；根据三角形相似的性质进行说明.

试题解析：(1)、在矩形ABCD中，∵AC=BD，OA=OC=AC，OB=OD=BD，

∴OA=OC=OB=OD，∵△D′OC′由△DOC旋转得到，∴OD=OD′，OC=OC′，∠D′OD=∠C′OC，

∴OB=OD′=OA=OC′，∴180°－∠D′OD=180°－∠C′OC， 即∠BOD′=∠AOC′，

∴△BOD′≌△AOC′

(2)、①猜想：△BOD′∽△AOC′．

∵在平行四边形ABCD中，OB=OD，OA=OC， ∵△D′OC′由△DOC旋转得到，

∴OD=OD′，OC=OC′，∠D′OD=∠C′OC， ∴OB：OA=OD′：OC′，180°－∠D′OD=180°－∠C′OC，

∴∠BOD′=∠AOC′， ∴△BOD′∽△AOC′

②结论：AC′=kBD′，∠AMB＝α

∵△BOD′∽△AOC′， ∴，即AC′=kBD′

设BD′与AC相交于点N，∵△BOD′∽△AOC′，∴∠OBM=∠OAM，

在△ANM与△BNO中，又∵∠ANM=∠BNO，

∴180°－∠OAC′－∠ANM＝180°－∠OBD′－∠BNO，

即∠AMB＝∠AOB＝α．