Question

【题目】已知，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过原点，顶点为A（s，t）（s≠0）．
（1）当s=2时，t=1时，求抛物线对应的二次函数的表达式；
（2）若（1）中的抛物线与x轴交于点B，过B作OA的平行线交抛物线于点D，求△BDO三条高的和；
（3）当点A在抛物线y=x2﹣x上，且﹣1≤s＜2时，求a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：由题意可知A（2，1），

设抛物线的解析式为y=a（x﹣2）2+1，

由于抛物线过原点，

∴将（0，0）代入y=a（x﹣2）2+1，

∴解得a=﹣ ，

∴抛物线的解析式为：y=﹣ （x﹣2）2+1

（2）解：令y=0代入y=﹣ （x﹣2）2+1，

∴解得x=4或x=0，

∴B（4，0）

设直线OA的解析式为：y=kx，

将A（2，1）代入y=kx，

∴k= ，

∵BD∥OA，

∴设直线BD的解析式为：y= x+m，

将B（4，0）代入y= x+m，

∴m=﹣2

∴直线BD的解析式为：y= x﹣2

联立

解得：x=4或x=﹣2

∴D（﹣2，﹣3）

∴由勾股定理可知：OD= ，BD=3 ，

设OB、OD、BD边上的高分别为h1，h2，h3，

∴h1=3

又∵OB=4，

∴S△BDO= OBh1=6，

∴ BDh3= ODh2=6，

∴h2= ，h3= ，

∴△BDO三条高的和h1+h2+h3=3+ +

（3）解：由题意可知：t=s2﹣s，

∵A（s，t）是y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点，

∴y=a（x﹣s）2+t，

又因为该抛物线经过原点，

∴0=as2+t，

∴0=as2+s2﹣s，

∴s=（a+1）s2，

当s=0时，

此时，a全体实数，

当s≠0时，此时﹣1≤s＜0或0＜s＜2，

∴a= ，

∴a≤﹣2或a＞﹣ ，

综上所述，a≤﹣2或a＞﹣

【解析】（1）由题意可知A（2，1），设抛物线的解析式为y=a（x﹣2）2+1，由于抛物线过原点，所以将（0，0）代入即可求出a的值．（2）根据A（2，1）可求出OA的直线解析式，由于DB∥OA，所以一次项系数必定相等，从而可求出直线BD的解析式，联立直线BD与抛物线的解析式即可求出D的坐标，然后根据勾股定理分别求出OD、BD的长度，再求出BOD的面积即可求出△BDO三条高的和．（3）t=s2﹣s，由于A（s，t）是y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点，所以y=a（x﹣s）2+t，将（0，0）代入该式后可得s=（a+1）s2 ， 利用s的范围即可求出a的范围．
【考点精析】本题主要考查了抛物线与坐标轴的交点的相关知识点，需要掌握一元二次方程的解是其对应的二次函数的图像与x轴的交点坐标．因此一元二次方程中的b2-4ac，在二次函数中表示图像与x轴是否有交点．当b2-4ac>0时，图像与x轴有两个交点；当b2-4ac=0时，图像与x轴有一个交点；当b2-4ac<0时，图像与x轴没有交点．才能正确解答此题．