Question

【题目】如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=5，点P是BC边上的一个动点（点P不与点B、C重合），现将△PCD沿直线PD折叠，使点C落到点C′处；作∠BPC′的角平分线交AB于点E．设BP=x，BE=y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是（ ）

A.
B.
C.
D.

Answer 1

【答案】D
【解析】解：如图，连接DE，∵△PC′D是△PCD沿PD折叠得到，
∴∠CPD=∠C′PD，
∵PE平分∠BPC′，
∴∠BPE=∠C′PE，
∴∠EPC′+∠DPC′= ×180°=90°，
∴△DPE是直角三角形，
∵BP=x，BE=y，AB=3，BC=5，
∴AE=AB﹣BE=3﹣y，CP=BC﹣BP=5﹣x，
在Rt△BEP中，PE2=BP2+BE2=x2+y2 ，
在Rt△ADE中，DE2=AE2+AD2=（3﹣y）2+52 ，
在Rt△PCD中，PD2=PC2+CD2=（5﹣x）2+32 ，
在Rt△PDE中，DE2=PE2+PD2 ，
则（3﹣y）2+52=x2+y2+（5﹣x）2+32 ，
整理得，﹣6y=2x2﹣10x，
所以y=﹣ x2+ x（0＜x＜5），
纵观各选项，只有D选项符合．
故选：D．

连接DE，根据折叠的性质可得∠CPD=∠C′PD，再根据角平分线的定义可得∠BPE=∠C′PE，然后证明∠DPE=90°，从而得到△DPE是直角三角形，再分别表示出AE、CP的长度，然后利用勾股定理进行列式整理即可得到y与x的函数关系式，根据函数所对应的图象即可得解．