Question

【题目】感知：如图①，在矩形ABCD中，点E是边BC的中点，将△ABE沿AE折叠，使点B落在矩形ABCD内部的点F处，延长AF交CD于点G，连结FC，易证∠GCF=∠GFC．

探究：将图①中的矩形ABCD改为平行四边形，其他条件不变，如图②，判断∠GCF=∠GFC是否仍然相等，并说明理由．

应用：如图②，若AB=5，BC=6，则△ADG的周长为 ．

Answer 1

【答案】探究：∠GCF=∠GFC，理由见解析;应用:16.

【解析】

试题分析：探究：由ABCD及折叠可得∠B+∠ECG=∠AFE+∠ECG=∠AFE+∠EFG=180°，即∠ECG=∠EFG，再根据EB=EF=EC得∠EFC=ECF，从而可得∠GCF=∠GFC；

应用：由（1）中∠GCF=∠GFC得GF=GC，AF=AB，根据△ADG的周长AD+AF+GF+GD=AD+AB+GC+GD可得．

试题解析：探究：∠GCF=∠GFC，理由如下：

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥CD，

∴∠B+∠ECG=180°，

又∵△AFE是由△ABE翻折得到，

∴∠AFE=∠B，EF=BE，

又∵∠AFE+∠EFG=180°，

∴∠ECG=∠EFG，

又∵点E是边BC的中点，

∴EC=BE，

∵EF=BE，

∴EC=EF，

∴∠ECF=∠EFC，

∴∠ECG-∠ECF=∠EFG-∠EFC，

∴∠GCF=∠GFC；

应用：∵△AFE是由△ABE翻折得到，

∴AF=AB=5，

由（1）知∠GCF=∠GFC，

∴GF=GC，

∴△ADG的周长AD+AF+GF+GD=AD+AB+GC+GD=AD+AB+CD=6+5+5=16