Question

【题目】已知：△ABC是等边三角形．

（1）如图，点D在AB边上，点E在AC边上，BD＝CE，BE与CD交于点F． 试判断BF与CF的数量关系，并加以证明；
（2）点D是AB边上的一个动点，点E是AC边上的一个动点，且BD＝CE，BE与CD交于点F．若△BFD是等腰三角形，求∠FBD的度数．

Answer 1

【答案】
（1）解：BF=CF；理由如下：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°，
在△BCD和△CBE中， ，
∴△BCD≌△CBE（SAS），
∴∠BCD=∠CBE，
∴BF=CF．
（2）解：由（1）得：∠BCD=∠CBE，∠ACB=60°，
设∠BCD=∠CBE=x，
∴∠DBF=60°﹣x，
若△BFD是等腰三角形，分三种情况：
①若FD=FB，则∠FBD=∠FDB＞∠A，
∴∠FBD=∠FDB＞60°，
但∠FBD＞∠ABC，
∴∠FBD＜60°，
∴FD=FB的情况不存在；
②若DB=DF，则∠FBD=∠BFD=2x，
∴60°﹣x=2x，
解得：x=20°，
∴∠FBD=40°；
③若BD=BF，如图所示：

则∠BDF=∠BFD=2x，
在△BDF中，∠DBF+∠BDF+∠BFD=180°，
∴60°﹣x+2x+2x=180°，
解得：x=40°，
∴∠FBD=20°；
综上所述：∠FBD的度数是40°或20°.
【解析】（1）根据题意再由SAS证明△BCD≌△CBE，再由全等三角形的性质可证得结论；
（2）△BFD是等腰三角形，分三种情况：①若FD=FB；②若DB=DF；③若BD=BF，根据三角形的内角和可求出答案.