Question

【题目】★如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x－2与x轴、y轴分别交于A，B两点，P是直线AB上一动点，⊙P的半径为1.

(1)判断原点O与⊙P的位置关系，并说明理由；

(2)当⊙P过点B时，求⊙P被y轴所截得的劣弧的长；

(3)当⊙P与x轴相切时，求出切点的坐标．

Answer 1

【答案】（1）见解析 （2） （3） 或

【解析】试题分析：（1）由直线y＝与x轴、y轴分别交于A，B两点，可求得点A与点B的坐标，继而求得∠OBA＝30°，然后过点O作OH⊥AB于点H，利用三角函数可求得OH的长，根据直线与圆的位置关系即可得出答案；

（2）当⊙P过点B时，点P在y轴右侧时，易得⊙P被y轴所截的劣弧所对的圆心角为：180°－30°－30°＝120°，则可求得弧长；同理可求得当⊙P过点B时，点P在y轴左侧时，⊙P被y轴所截得的劣弧的长；

（3）首先求得当⊙P与x轴相切时，且位于x轴下方时，点D的坐标，然后利用对称性可以求得当⊙P与x轴相切时，且位于x轴上方时，点D的坐标．

试题解析：解：（1）原点O在⊙P外．理由如下：

∵直线y＝x－2与x轴、y轴分别交于A，B两点，

∴点A的坐标为(2，0)，点B的坐标为(0，－2)．

在Rt△OAB中，tan∠OBA＝＝＝，

∴∠OBA＝30°．

如图①，过点O作OH⊥AB于点H，

在Rt△OBH中，OH＝OB·sin∠OBA＝．

∵＞1，

∴原点O在⊙P外；

（2）如图②，当⊙P过点B时，点P在y轴右侧时，

∵PB＝PC，

∴∠PCB＝∠OBA＝30°，

∴⊙P被y轴所截的劣弧所对的圆心角的度数为180°－30°－30°＝120°，

∴弧长为＝；

同理：当⊙P过点B时，点P在y轴左侧时，弧长同样为．

∴当⊙P过点B时，⊙P被y轴所截得的劣弧的长为；

（3）如图③，当⊙P与x轴相切时，且位于x轴下方时，设切点为D，作PD⊥x轴，

∴PD∥y轴，

∴∠APD＝∠ABO＝30°．

在Rt△DAP中，AD＝DP·tan∠DPA＝1×tan30°＝，

∴OD＝OA－AD＝2－，

∴此时点D的坐标为；

当⊙P与x轴相切时，且位于x轴上方时，根据对称性可以求得此时切点的坐标为．

综上所述，当⊙P与x轴相切时，切点的坐标为或．