Question

【题目】（1）正方形ABCD与等腰直角三角形PAQ如图1所示重叠在一起，其中∠PAQ=90°，点Q在BC上，连接PD，△ADP与△ABQ全等吗？请说明理由．

（2）如图2，O为正方形ABCD对角线的交点，将一直角三角板FPQ的直角顶点F与点O重合转动三角板使两直角边始终与BC、AB相交于点M、N，使探索OM与ON的数量关系，并说明理由．

（3）如图3，将（2）中的“正方形”改成“长方形”，其它的条件不变，且AB=4，AD=6，FM=x，FN=y，试求y与x之间的函数关系式．

Answer 1

【答案】（1）△ADP≌△ABQ，理由见解析；

（2）AC⊥BD，理由见解析；

（3）y与x之间的函数关系式为： .

【解析】试题分析：（1）根据正方形的性质和等腰直角三角形的性质就可以求得△ADP与△ABQ全等；

（2）根据正方形的性质和等腰直角三角形的性质就可以得△ANO≌△BMO，从而得出ON=OM；

（3）过点O作OE⊥AB于E，OH⊥BC于H，由条件求出OE、OH的值，再通过证明△OEN∽△OHM，利用相似三角形的性质就可以求出结论．

试题解析：（1）△ADP≌△ABQ．

理由：如图1，∵四边形ABCD是正方形，

∴AB=AD，∠B=∠ADP=∠BAD=90°

∵△PAQ是等腰直角三角形，

∴AQ=AP．

∵∠PAQ=90°，

∴∠BAD=∠PAQ，

∴∠BAD-∠QAD=∠PAQ-∠QAD，

∴∠BAQ=∠PAD．

∵在△ADP和△ABQ中，

∴△ADP≌△ABQ（ASA）；

（2）OM=ON．

理由：如图2，∵四边形ABCD是正方形，

∴AO=BO，∠AOB=90°，∠OAB=∠OBC=45°．

∴∠AOB=∠POQ，

∴∠AOB-∠NOB=∠POQ-∠NOB，

∴∠AON=∠BOM

∵在△AON和△BOM中，

，

∴△AON≌△BOM（ASA）

∴OM=ON；

（3）如图4，

过点O作OE⊥AB于E，OH⊥BC于H，

∴∠OEN=∠OHM=90°，OE=AD，OH=AB．

∵AB=4，AD=6，

∴OE=3，OH=2．

∵∠ABC=90°，

∴四边形EBHO是矩形，

∴∠EOH=90°，

∴∠EOH=∠POQ，

∴∠EOH-∠EOM=∠POQ-∠EOM，

∴∠EON=∠HOM．

∴△OEN∽△OHM，

∴，

即

∴y= ．