Question

【题目】已知，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，∠ABC的角平分线交AC于E，AD⊥BE于D，求证：AD=BE．

Answer 1

【答案】见解析

【解析】

试题分析：延长AD和BC交于F，求出∠CBE=∠CAF，AC=BC，证△EBC≌△FAC，△ABD≌△FBD，推出BE=AF，AD=DF，即可得出答案．

解：如图延长AD和BC交于F，

∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=45°，

∴∠ABC=45°=∠BAC，

∴AC=BC，

∵∠ACB=90°，

∴∠BCE=∠ACF=90°，

∵BE平分∠ABC，

∴∠ABD=∠EBC，

∵BD⊥AD，

∴∠BCE=∠ADE=90°，

∵∠BEC=∠AED，

∴根据三角形内角和定理得：∠DAE=∠CBE，

在△BCE和△ACF中，

，

∴△BCE≌△ACF（SAS），

∴BE=AF，

在△ABD和△FBD中，

，

∴△ABD≌△FBD（ASA），

∴AD=DF，

即AF=2AD，

∴AD=AF，

∴AD=BE．