Question

【题目】探索发现：如图是一种网红弹弓的实物图，在两头上系上皮筋，拉动皮筋可形成平面示意图如图1图2，弹弓的两边可看成是平行的，即AB∥CD．各活动小组探索∠APC 与∠A，∠C之间的数量关系．已知AB∥CD，点P不在直线AB和直线CD上，在图1中，智慧小组发现：∠APC＝∠A+∠C．

智慧小组是这样思考的：过点 P 作 PQ∥AB，……

（1）请你按照智慧小组作的辅助线完成证明过程．

（2）①在图2中，猜测∠APC与∠A，∠C 之间的数量关系，并完成证明．

②如图3，已知AB∥CD，则角α、β、γ之间的数量关系为 ．（直接填空）

（3）善思小组提出：如图4，图5．AB∥CD，AF，CF分别平分∠BAP，∠DCP

①在图4中，猜测∠AFC与∠APC之间的数量关系，并证明．

②在图5中，∠AFC与∠APC之间的数量关系为 ．（直接填空）

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）①∠APC+∠A+∠C=360°；理由见解析；②α+β-γ=180°；理由见解析；（3）①∠AFC=∠APC；理由见解析；②∠AFC=180°-∠APC；理由见解析；

【解析】

探索发现：由平行线的性质得出∠APQ=∠A，由PQ∥AB，AB∥CD，推出PQ∥CD，得出∠APQ=∠C，推出∠APQ+∠CPQ=∠A+∠C，即可得出结论；
类比思考①过点P作PQ∥AB，延长BA到M，延长DC到N，由平行线的性质得出∠APQ=∠PAM，由PQ∥AB，AB∥CD，推出PQ∥CD，得出∠APQ=∠PCN，则∠APQ+∠CPQ+∠PAB+∠PCD=360°，即可得出结果；
②过点M作MQ∥AB，由平行线的性质得出α+∠QMA=180°，由MQ∥AB，AB∥CD，推出MQ∥CD，得出∠QMD=γ，即可得出结果；
解决问题①过点P作PQ∥AB，过点F作FM∥AB，由平行线的性质得出∠APQ=∠BAP，∠AFM=∠BAF，由角平分线的性质得出∠BAF=∠PAF，即∠AFM=∠BAP，由PQ∥AB，FM∥AB，AB∥CD，推出PQ∥CD，FM∥CD，得出∠CPQ=∠DCP，∠CFM=∠DCF，由角平分线的性质得出∠DCF=∠PCF，即∠CFM=∠DCP，推出∠APC=∠BAP+∠DCP，∠AFC=（∠BAP+∠DCP），即可得出结果；
②过点P作PH∥AB，过点F作FQ∥AB，延长BA到M，延长DC到N，由平行线的性质得出∠APH=∠MAP，∠AFQ=∠BAF，由角平分线的性质得出∠BAF=∠PAF，即2∠AFQ=∠BAP，由PH∥AB，FQ∥AB，AB∥CD，推出PH∥CD，FQ∥CD，得出∠CPH=∠NCP，∠CFQ=∠DCF，由角平分线的性质得出∠DCF=∠PCF，即2∠CFQ=∠DCP，由∠BAP+∠MAP=180°，∠DCP+∠NCP=180°，得出2∠AFQ+∠APH=180°，2∠CFQ+∠CPH=180°，即可得出结果．

解：（1）探索发现：∴∠APQ=∠A，
∵PQ∥AB，AB∥CD，
∴PQ∥CD，
∴∠APQ=∠C，
∴∠APQ+∠CPQ=∠A+∠C，
∴∠APC=∠A+∠C；

（2）①∠APC+∠A+∠C=360°；理由如下：
过点P作PQ∥AB，延长BA到M，延长DC到N，如图2所示：
∴∠APQ=∠PAM，
∵PQ∥AB，AB∥CD，
∴PQ∥CD，
∴∠APQ=∠PCN，
∴∠APQ+∠CPQ+∠PAB+∠PCD=180°+180°=360°，
∴∠APC+∠A+∠C=360°，
故答案为：∠APC+∠A+∠C=360°；

②α+β-γ=180°；理由如下：
过点M作MQ∥AB，如图3所示：
∴α+∠QMA=180°，
∵MQ∥AB，AB∥CD，
∴MQ∥CD，
∴∠QMD=γ，
∵∠QMA+∠QMD=β，
∴α+β-γ=180°，
故答案为：α+β-γ=180°；

（3）①∠AFC=∠APC；理由如下：
过点P作PQ∥AB，过点F作FM∥AB，如图4所示：
∴∠APQ=∠BAP，∠AFM=∠BAF，
∵AF平分∠BAP，
∴∠BAF=∠PAF，
∴∠AFM=∠BAP，
∵PQ∥AB，FM∥AB，AB∥CD，
∴PQ∥CD，FM∥CD，
∴∠CPQ=∠DCP，∠CFM=∠DCF，
∵CF平分∠DCP，
∴∠DCF=∠PCF，
∴∠CFM=∠DCP，
∴∠APC=∠BAP+∠DCP，∠AFC=∠BAP+∠DCP=（∠BAP+∠DCP），
∴∠AFC=∠APC，
故答案为：∠AFC=∠APC；

②∠AFC=180°-∠APC；理由如下：
过点P作PH∥AB，过点F作FQ∥AB，延长BA到M，延长DC到N，如图5所示：
∴∠APH=∠MAP，∠AFQ=∠BAF，
∵AF平分∠BAP，
∴∠BAF=∠PAF，
∴2∠AFQ=∠BAP，
∵PH∥AB，FQ∥AB，AB∥CD，
∴PH∥CD，FQ∥CD，
∴∠CPH=∠NCP，∠CFQ=∠DCF，
∵CF平分∠DCP，
∴∠DCF=∠PCF，
∴2∠CFQ=∠DCP，
∵∠BAP+∠MAP=180°，∠DCP+∠NCP=180°，
∴2∠AFQ+∠APH=180°，2∠CFQ+∠CPH=180°，
∴2∠AFQ+∠APH+2∠CFQ+∠CPH=360°，
即2∠AFC+∠APC=360°，
∴∠AFC=180°-∠APC，
故答案为：∠AFC=180°-∠APC．