Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，点A（4,0），点B（0,6），点P是直线AB上的一个动点，已知点P的坐标为（m,n）.

(1)当点P在线段AB上时（不与点A、B重合）

①当m=2,n=3时，求△POA的面积.

②记△POB的面积为S，求S关于m的函数解析式，并写出定义域.

（2）如果S△BOP：S△POA=1:2,请直接写出直线OP的函数解析式.（本小题只要写出结果，不需要写出解题过程）.

Answer 1

【答案】（1）6；（2）S=3m，0<m<4；（3）y=3x或y= -3x

【解析】

（1）根据点坐标可得△POA的底和高，根据三角形面积公式计算；（2）根据点坐标可得△POB的底和高，根据三角形面积公式列出S与m的解析式；（3）分别讨论当P在第二、第一、第四象限内，根据题意列出等式求P点坐标，确定直线OP解析式.

解：（1）如图，过P作PM⊥x轴，垂足为M，

∵A（4,0），P（2,3），

∴S△POA==.

（2）如图，过P作PN⊥y轴，垂足为N，

∵B（0,6），P（m,n），

∴S ==.

∵P在线段AB上（不与点A、B重合）

∴0<m<4

∴S关于m的函数解析式为S=3m，0<m<4.

（3）如图，设直线AB的解析式为y=kx+b，将A（4,0），B（0,6）代入，

，

解得， ，

∴直线AB的解析式为 ，

∴P（m, ）.

∵S△BOP：S△POA=1:2，∴S△POA=2 S△BOP

①当m≤0，即点P在第二象限时，

根据题意得，

解得，m= -4，

∴P（-4,12），

设直线OP解析式为y=ax，将P点代入，

-4a=12,

解得，a= -3，

∴直线OP解析式为y= -3x；

②当0<m≤4，即点P在第一象限时，

根据题意得，

解得，m= ，

∴P（,4），

设直线OP解析式为y=ax，将P点代入，

a=4,

解得，a= 3，

∴直线OP解析式为y= 3x；

③当m>4，即点P在第四象限时，

根据题意得，

解得，m= -4（不符合题意，舍去） .

综上所述，直线OP的解析式为：y=3x或y= -3x