Question

【题目】已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，BM⊥CM于M，且CM＞BM

（1）如图1，过点A作AF⊥CM于F，直线写出线段BM、AF、MF的数量关系是

（2）如图2，D为BM延长线上一点，连AD以AD为斜边向右侧作等腰Rt△ADE，再过点E作EN⊥BM于N，求证：CM+EN=MN；

（3）将（2）中的△ADE绕点A顺时针旋转任意角α后，连BD取BD中点P，连CP、EP，作出图形，试判断CP、EP的数量和位置关系并证明．

Answer 1

【答案】（1）AF=BM+MF．（2）证明见解析；（3）CP=PE且CP⊥PE．

【解析】

试题分析：（1）根据全等三角形的判定定理AAS推知△ACF≌△CBM，然后由全等三角形的对应边相等、图形中线段间的和差关系以及等量代换，即可解答；

（2）如图2，过点A作AG⊥CM于G，反向延长GA交EN于H，由四边形GMNH为矩形，得到AH⊥EN，根据三垂直得：△CMB≌△AGC，△AEH≌△EDN，利用全等三角形的对应边相等得到相等的线段，即可解答．

（3）取AB的中点M、AD的中点N，连接PM、CM、NE、PN，则可构造△PNE≌CMP，结论不言而喻．

解：（1）AF=BM+MF，

∵∠ACB=90°，

∴∠ACF+∠BCM=90°．

又∵AF⊥CM，

∴∠ACF+∠CAF=90°，

∴∠CAF=∠BCM．

在△ACF和△CBM中，

，

∴△ACF≌△CBM，

∴BM=CF，AF=CM，

∴CF+MF=BM+MF=MC=AF，即AF=BM+MF．

故答案为：AF=BM+MF．

（2）如图2，过点A作AG⊥CM于G，反向延长GA交EN于H，

∴四边形GMNH为矩形

∴AH⊥EN

根据三垂直得：△CMB≌△AGC，△AEH≌△EDN，

∴CM=AG，EN=AH，

∴MN=GH=GA+AH=CM+EN．

（3）如图3，

取AB的中点M、AD的中点N，连接PM、CM、NE、PN，

∵△BCA与△AED均为等腰直角三角形，

∴CM=BM=AM，CM⊥BA，

EN=AN=DN，NE⊥AD，

∵P为BD中点，

∴PN=AM=BM=CM，PN∥BA，

PM=AN=DN=NE，PM∥AD，

∴AMPN是平行四边形，

∴∠BMP=∠PND，

∴∠PMC=∠ENP，

∴△PNE≌CMP（SAS），

∴CP=PE，

∵CM⊥AB，PN∥AB，

∴CM⊥PN，

∴CP⊥PE，

综上所述，CP=PE且CP⊥PE．