Question

【题目】如图，矩形中，点分别在边与上，点在对角线上，，.

求证：四边形是平行四边形.

若，，，求的长.

Answer 1

【答案】（1）证明见详解；（2）5

【解析】

（1）依据矩形的性质，即可得出△AEG≌△CFH，进而得到GE=FH，∠CHF=∠AGE，由∠FHG=∠EGH，可得FH∥GE，即可得到四边形EGFH是平行四边形；
（2）由菱形的性质，即可得到EF垂直平分AC，进而得出AF=CF=AE，设AE=x，则FC=AF=x，DF=8-x，依据Rt△ADF中，AD2+DF2=AF2，即可得到方程，即可得到AE的长．

解：（1）∵矩形ABCD中，AB∥CD，
∴∠FCH=∠EAG，
又∵CD=AB，BE=DF，
∴CF=AE，
又∵CH=AG，
∴△AEG≌△CFH，
∴GE=FH，∠CHF=∠AGE，
∴∠FHG=∠EGH，
∴FH∥GE，
∴四边形EGFH是平行四边形；

（2）如图，连接EF，AF，

∵EG=EH，四边形EGFH是平行四边形，
∴四边形GFHE为菱形，
∴EF垂直平分GH，
又∵AG=CH，
∴EF垂直平分AC，
∴AF=CF=AE，
设AE=x，则FC=AF=x，DF=8-x，
在Rt△ADF中，AD2+DF2=AF2，
∴42+（8-x）2=x2，
解得x=5，
∴AE=5．