Question

【题目】如图（1），抛物线y=﹣ x2+x+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点A的坐标为（﹣2，0）．

（1）求此抛物线的解析式；
（2）①若点D是第一象限内抛物线上的一个动点，过点D作DE⊥x轴于E，连接CD，以OE为直径作⊙M，如图（2），试求当CD与⊙M相切时D点的坐标；
②点F是x轴上的动点，在抛物线上是否存在一点G，使A、C、G、F四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：

由已知有：﹣ （﹣2）2+（﹣2）+c=0，

∴c=3，抛物线的解析式是：y=﹣ x2+x+3

（2）

解：方法一：

①令D（x，y），（x＞0，y＞0），

则E（x，0），M（ ，0），由（1）知C（0，3），

连接MC、MD，

∵DE、CD与⊙O相切，

∴∠OCM=∠MCD，∠CDM=∠EDM，

∴∠CMD=90°，

∴△COM∽△MED，

∴ = ，

∴ = ，

又∵D点在抛物线上，满足解析式y=﹣ x2+x+3，

∴x= （1± ），

又∵x＞0，

∴x= （1+ ），

∴y= （3+ ），则D点的坐标是：（ （1+ ， （3+ ））．

②假设存在满足条件的点G（a，b）．

若构成的四边形是ACGF，（下图1）则G与C关于直线x=2对称，

∴G点的坐标是：（4，3）；

若构成的四边形是ACFG，（下图2）则由平行四边形的性质有b=﹣3，

又∵﹣ a2+a+3=﹣3，

∴a=2±2 ，

此时G点的坐标是：（2±2 ，﹣3）

方法二：

①连接CM，DM，

∵D为抛物线：y=﹣ x2+x+3上的一点，

∴设D（t，﹣ t2+t+3），

∴E（t，0），

∵M为OE中点，

∴M（ ，0），

∵C（0，3），CD与⊙M相切，

∴∠MDC=∠EDM，∠OCM=∠MCD，

∵DE⊥x轴，

∴∠OCD+∠CDE=180°

∴∠MCD+∠MDC=90°

∴CD⊥DM，

∴KCM×KDM=﹣1，

∴ =﹣1，∴ ，

∴D（ ， ）．

②∵F是x轴上的动点，∴设F（t，0），

∵A（﹣2，0），C（0，3），

∴ ，∴ ，

同理： 或 ，

∴﹣ （t+2）2+t+2+3=3，∴ ，

∴﹣ （﹣t﹣2）2﹣t﹣2+3=3，∴ ，

∴﹣ （t﹣2）2+t﹣2+3=﹣3，t﹣2=2±2 ，

综上所述，满足题意的点G1（2﹣2 ，﹣3），G2（2+2 ，﹣3）

【解析】（1）把A的坐标代入抛物线的解析式，即可得到关于c的方程，求的c的值，则抛物线的解析式即可求解；（2）①连接MC、MD，证明△COM∽△MED，根据相似三角形的对应边的比相等即可求解；②分四边形是ACGF和四边形是ACFG两种情况进行讨论，根据平行四边形的性质即可求解．
【考点精析】利用二次函数的性质对题目进行判断即可得到答案，需要熟知增减性：当a>0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大；当a<0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小．