Question

【题目】点为正方形的边上任意一点，在正方形内部做等腰直角．

（1）如图1，若，则_________（请直接写出答案）

（2）作关于的对称点，连接交于点．

①补全图形1；

②证明：四边形ECHF为平行四边形．

（3）在（2）的条件下，连接，请直接写出和之间的数量关系．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①见解析；②见解析；（3）

【解析】

(1)在中，利用勾股定理求得，再在是等腰直角三角形AEF中利用勾股定理即可求解；

(2)①按照要求补全图形即可；

②作MN⊥AB，交DC于N，交AB于M，证得△AMF≌△FNE，根据全等三角形的性质证明点F在正方形ABCD的线BD上，设法证明FH=EC，FH∥EC，从而证明结论；

(3)根据②的过程，利用勾股定理证得 ，，从而得到．

(1)∵四边形ABCD是正方形，AB=6，EC=2，
∴AB=AD=DC=6，∠ADE=90，

在中，AD= 6，DE=DC-EC=6-2=4，

∴，

∵AEF是等腰直角三角形，且∠AFE=90，

∴AF=EF，

∵，即，

∴；

(2)①补全图形如图所示：

②如图，过点F作MN⊥AB，交DC于N，交AB于M，连接BD，

∵AB∥CD，MN⊥AB，∠AFE=90，
∴MN⊥CD，
∴∠AFM+∠EFN=90°，∠AFM +∠FAM=90°，
∴∠EFN =∠FAM，

在△AMF和△FNE中，

，
∴△AMF≌△FNE(AAS)，
∴AM=FN，MF=EN，

∵四边形ABCD是正方形，且MN⊥AB，

∴∠BAD=∠ADC=∠AMN=90°，

∴四边形ADNM是矩形，

∴AM=DN，

∴FN=DN，

又MN⊥CD，

∴∠FDN=45°，

∴点F在正方形ABCD的线BD上，

又F、H关于BC对称，

∴MF=FP=PH=EN，FP⊥BC，

∴四边形BPFM是正方形，四边形PCNF是矩形，

∴FP=NC，PC=FN，

∴FH=EC，

∵F、H关于BC对称，

∴FH⊥BC，

∵DC⊥BC，

∴FH∥EC，

∴四边形ECHF为平行四边形；

(3)由②得MF=FP，

∴，

∵AM=DN=FN，

∴，

∴．